Integral de (4x+7)^8 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 x + 7$.

      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{8}}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{8}\, du = \frac{\int u^{8}\, du}{4}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{9}}{36}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(4 x + 7\right)^{9}}{36}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 x + 7\right)^{8} = 65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 60236288 x^{3} + 52706752 x^{2} + 26353376 x + 5764801$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 65536 x^{8}\, dx = 65536 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{65536 x^{9}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 917504 x^{7}\, dx = 917504 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $114688 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5619712 x^{6}\, dx = 5619712 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $802816 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 19668992 x^{5}\, dx = 19668992 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9834496 x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 43025920 x^{4}\, dx = 43025920 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8605184 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 60236288 x^{3}\, dx = 60236288 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $15059072 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 52706752 x^{2}\, dx = 52706752 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{52706752 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 26353376 x\, dx = 26353376 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $13176688 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 5764801\, dx = 5764801 x$

      El resultado es: $\frac{65536 x^{9}}{9} + 114688 x^{8} + 802816 x^{7} + \frac{9834496 x^{6}}{3} + 8605184 x^{5} + 15059072 x^{4} + \frac{52706752 x^{3}}{3} + 13176688 x^{2} + 5764801 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(4 x + 7\right)^{9}}{36}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(4 x + 7\right)^{9}}{36}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(4 x + 7\right)^{9}}{36}+ \mathrm{constant}$