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Resolución de integrales/ 3*x+4/ x*y/(3*x+4*y)

Integral de x*y/(3*x+4*y) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |     x*y      
 |  --------- dx
 |  3*x + 4*y   
 |              
/               
0
∫01xy3x+4y dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x y}{3 x + 4 y}\, dx 
Integral((x*y)/(3*x + 4*y), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    xy3x+4y=−4y23(3x+4y)+y3\frac{x y}{3 x + 4 y} = - \frac{4 y^{2}}{3 \left(3 x + 4 y\right)} + \frac{y}{3}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−4y23(3x+4y)) dx=−4y2∫13x+4y dx3\int \left(- \frac{4 y^{2}}{3 \left(3 x + 4 y\right)}\right)\, dx = - \frac{4 y^{2} \int \frac{1}{3 x + 4 y}\, dx}{3}

      1. que u=3x+4yu = 3 x + 4 y.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫13u du\int \frac{1}{3 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du3\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)3\frac{\log{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(3x+4y)3\frac{\log{\left(3 x + 4 y \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −4y2log⁡(3x+4y)9- \frac{4 y^{2} \log{\left(3 x + 4 y \right)}}{9}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫y3 dx=xy3\int \frac{y}{3}\, dx = \frac{x y}{3}

    El resultado es: xy3−4y2log⁡(3x+4y)9\frac{x y}{3} - \frac{4 y^{2} \log{\left(3 x + 4 y \right)}}{9}

  3. Ahora simplificar:

    y(3x−4ylog⁡(3x+4y))9\frac{y \left(3 x - 4 y \log{\left(3 x + 4 y \right)}\right)}{9}

  4. Añadimos la constante de integración:

    y(3x−4ylog⁡(3x+4y))9+constant\frac{y \left(3 x - 4 y \log{\left(3 x + 4 y \right)}\right)}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

y(3x−4ylog⁡(3x+4y))9+constant\frac{y \left(3 x - 4 y \log{\left(3 x + 4 y \right)}\right)}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                            
 |                       2                     
 |    x*y             4*y *log(3*x + 4*y)   x*y
 | --------- dx = C - ------------------- + ---
 | 3*x + 4*y                   9             3 
 |                                             
/
∫xy3x+4y dx=C+xy3−4y2log⁡(3x+4y)9\int \frac{x y}{3 x + 4 y}\, dx = C + \frac{x y}{3} - \frac{4 y^{2} \log{\left(3 x + 4 y \right)}}{9}
Simplificar
Respuesta [src] 
                              2         
  /1   4*y*log(3 + 4*y)\   4*y *log(4*y)
y*|- - ----------------| + -------------
  \3          9        /         9
4y2log⁡(4y)9+y(−4ylog⁡(4y+3)9+13)\frac{4 y^{2} \log{\left(4 y \right)}}{9} + y \left(- \frac{4 y \log{\left(4 y + 3 \right)}}{9} + \frac{1}{3}\right) 
=
= 
                              2         
  /1   4*y*log(3 + 4*y)\   4*y *log(4*y)
y*|- - ----------------| + -------------
  \3          9        /         9
4y2log⁡(4y)9+y(−4ylog⁡(4y+3)9+13)\frac{4 y^{2} \log{\left(4 y \right)}}{9} + y \left(- \frac{4 y \log{\left(4 y + 3 \right)}}{9} + \frac{1}{3}\right) 
y*(1/3 - 4*y*log(3 + 4*y)/9) + 4*y^2*log(4*y)/9

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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