Integral de (e^x-x)/((e^x*x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u e^{u} + 1}{u}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{u}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{u + e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u + e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u + e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u + e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} = \frac{1}{u} + \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               1. que $u = \frac{1}{u}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- e^{\frac{1}{u}}$

               El resultado es: $- e^{\frac{1}{u}} + \log{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $e^{\frac{1}{u}} - \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $e^{u} + \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(- x \right)} + e^{- x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} - x}{e^{x} x} = - \frac{\left(x - e^{x}\right) e^{- x}}{x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\left(x - e^{x}\right) e^{- x}}{x}\right)\, dx = - \int \frac{\left(x - e^{x}\right) e^{- x}}{x}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{\left(u e^{\frac{1}{u}} - 1\right) e^{- \frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{\left(u e^{\frac{1}{u}} - 1\right) e^{- \frac{1}{u}}}{u^{2}} = \frac{1}{u} - \frac{e^{- \frac{1}{u}}}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{e^{- \frac{1}{u}}}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{e^{- \frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du$

               1. que $u = - \frac{1}{u}$.

                  Luego que $du = \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $du$:

                  $\int e^{u}\, du$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $e^{- \frac{1}{u}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- e^{- \frac{1}{u}}$

            El resultado es: $\log{\left(u \right)} - e^{- \frac{1}{u}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \log{\left(x \right)} - e^{- x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(x \right)} + e^{- x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x} - x}{e^{x} x} = - e^{- x} + \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- e^{- x}\right)\, dx = - \int e^{- x}\, dx$

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- e^{- x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $e^{- x}$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      El resultado es: $\log{\left(x \right)} + e^{- x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(- x \right)} + e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(- x \right)} + e^{- x}+ \mathrm{constant}$