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Resolución de integrales/ e^x*x/ e^x-x/ (e^x-x)/((e^x*x))

Integral de (e^x-x)/((e^x*x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2          
  /          
 |           
 |   x       
 |  E  - x   
 |  ------ dx
 |    x      
 |   E *x    
 |           
/            
1
∫12ex−xexx dx\int\limits_{1}^{2} \frac{e^{x} - x}{e^{x} x}\, dx 
Integral((E^x - x)/((E^x*x)), (x, 1, 2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫ueu+1u du\int \frac{u e^{u} + 1}{u}\, du

      1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

        Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−u+e1uu2) du\int \left(- \frac{u + e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u+e1uu2 du=−∫u+e1uu2 du\int \frac{u + e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u + e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u+e1uu2=1u+e1uu2\frac{u + e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} = \frac{1}{u} + \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

              Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

              ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −e1u- e^{\frac{1}{u}}

            El resultado es: −e1u+log⁡(u)- e^{\frac{1}{u}} + \log{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: e1u−log⁡(u)e^{\frac{1}{u}} - \log{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        eu+log⁡(u)e^{u} + \log{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(−x)+e−x\log{\left(- x \right)} + e^{- x}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ex−xexx=−(x−ex)e−xx\frac{e^{x} - x}{e^{x} x} = - \frac{\left(x - e^{x}\right) e^{- x}}{x}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−(x−ex)e−xx) dx=−∫(x−ex)e−xx dx\int \left(- \frac{\left(x - e^{x}\right) e^{- x}}{x}\right)\, dx = - \int \frac{\left(x - e^{x}\right) e^{- x}}{x}\, dx

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos dudu:

        ∫(ue1u−1)e−1uu2 du\int \frac{\left(u e^{\frac{1}{u}} - 1\right) e^{- \frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (ue1u−1)e−1uu2=1u−e−1uu2\frac{\left(u e^{\frac{1}{u}} - 1\right) e^{- \frac{1}{u}}}{u^{2}} = \frac{1}{u} - \frac{e^{- \frac{1}{u}}}{u^{2}}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−e−1uu2) du=−∫e−1uu2 du\int \left(- \frac{e^{- \frac{1}{u}}}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{e^{- \frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du

            1. que u=−1uu = - \frac{1}{u}.

              Luego que du=duu2du = \frac{du}{u^{2}} y ponemos dudu:

              ∫eu du\int e^{u}\, du

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e−1ue^{- \frac{1}{u}}

            Por lo tanto, el resultado es: −e−1u- e^{- \frac{1}{u}}

          El resultado es: log⁡(u)−e−1u\log{\left(u \right)} - e^{- \frac{1}{u}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(x)−e−x- \log{\left(x \right)} - e^{- x}

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)+e−x\log{\left(x \right)} + e^{- x}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ex−xexx=−e−x+1x\frac{e^{x} - x}{e^{x} x} = - e^{- x} + \frac{1}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−e−x) dx=−∫e−x dx\int \left(- e^{- x}\right)\, dx = - \int e^{- x}\, dx

        1. que u=−xu = - x.

          Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

          ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−x- e^{- x}

        Por lo tanto, el resultado es: e−xe^{- x}

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

      El resultado es: log⁡(x)+e−x\log{\left(x \right)} + e^{- x}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(−x)+e−x+constant\log{\left(- x \right)} + e^{- x}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(−x)+e−x+constant\log{\left(- x \right)} + e^{- x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                             
 |                              
 |  x                           
 | E  - x           -x          
 | ------ dx = C + e   + log(-x)
 |   x                          
 |  E *x                        
 |                              
/
∫ex−xexx dx=C+log⁡(−x)+e−x\int \frac{e^{x} - x}{e^{x} x}\, dx = C + \log{\left(- x \right)} + e^{- x}
Simplificar
Gráfica
1.002.001.101.201.301.401.501.601.701.801.900.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
   -1    -2         
- e   + e   + log(2)
−1e+e−2+log⁡(2)- \frac{1}{e} + e^{-2} + \log{\left(2 \right)} 
=
= 
   -1    -2         
- e   + e   + log(2)
−1e+e−2+log⁡(2)- \frac{1}{e} + e^{-2} + \log{\left(2 \right)} 
-exp(-1) + exp(-2) + log(2)
Respuesta numérica [src] 
0.460603022625116
0.460603022625116

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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