Integral de 2-(e^x/(1+e^x)) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\right)\, dx = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = e^{x}$.

            Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u + 1}\, du$

            1. que $u = u + 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 1 \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

         Método #2

         1. que $u = e^{x} + 1$.

            Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 2\, dx = 2 x$

   El resultado es: $2 x - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $2 x - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 x - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x - \log{\left(e^{x} + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$