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Resolución de integrales/ x^2+2/ 2*x+2/ x/(x^2+2*x+2)

Integral de x/(x^2+2*x+2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |       x         
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  + 2*x + 2   
 |                 
/                  
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 2}\, dx$$ 
Integral(x/(x^2 + 2*x + 2), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |      x         
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 2*x + 2   
 |                
/
Reescribimos la función subintegral
               /  2*x + 2   \                
               |------------|       /-1 \    
               | 2          |       |---|    
     x         \x  + 2*x + 2/       \ 1 /    
------------ = -------------- + -------------
 2                   2                  2    
x  + 2*x + 2                    (-x - 1)  + 1
o
  /                 
 |                  
 |      x           
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  + 2*x + 2     
 |                  
/                   
  
  /                                     
 |                                      
 |   2*x + 2                            
 | ------------ dx                      
 |  2                                   
 | x  + 2*x + 2        /                
 |                    |                 
/                     |       1         
------------------ -  | ------------- dx
        2             |         2       
                      | (-x - 1)  + 1   
                      |                 
                     /
En integral
  /               
 |                
 |   2*x + 2      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 2*x + 2   
 |                
/                 
------------------
        2
hacemos el cambio
     2      
u = x  + 2*x
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 2 + u                
 |                      
/             log(2 + u)
----------- = ----------
     2            2
hacemos cambio inverso
  /                                   
 |                                    
 |   2*x + 2                          
 | ------------ dx                    
 |  2                                 
 | x  + 2*x + 2                       
 |                      /     2      \
/                    log\2 + x  + 2*x/
------------------ = -----------------
        2                    2
En integral
   /                
  |                 
  |       1         
- | ------------- dx
  |         2       
  | (-x - 1)  + 1   
  |                 
 /
hacemos el cambio
v = -1 - x
entonces
integral =
   /                    
  |                     
  |   1                 
- | ------ dv = -atan(v)
  |      2              
  | 1 + v               
  |                     
 /
hacemos cambio inverso
   /                               
  |                                
  |       1                        
- | ------------- dx = -atan(1 + x)
  |         2                      
  | (-x - 1)  + 1                  
  |                                
 /
La solución:
       /     2      \              
    log\2 + x  + 2*x/              
C + ----------------- - atan(1 + x)
            2
Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                     
 |                          /     2      \              
 |      x                log\2 + x  + 2*x/              
 | ------------ dx = C + ----------------- - atan(1 + x)
 |  2                            2                      
 | x  + 2*x + 2                                         
 |                                                      
/
$$\int \frac{x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 2}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + 2 x + 2 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
log(5)             log(2)   pi
------ - atan(2) - ------ + --
  2                  2      4
$$- \operatorname{atan}{\left(2 \right)} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{2}$$ 
=
= 
log(5)             log(2)   pi
------ - atan(2) - ------ + --
  2                  2      4
$$- \operatorname{atan}{\left(2 \right)} - \frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\log{\left(5 \right)}}{2}$$ 
log(5)/2 - atan(2) - log(2)/2 + pi/4
Respuesta numérica [src] 
0.136394811540435
0.136394811540435

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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