Integral de (3x+1)^5 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x + 1$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{5}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = \frac{\int u^{5}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{18}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x + 1\right)^{6}}{18}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 x + 1\right)^{5} = 243 x^{5} + 405 x^{4} + 270 x^{3} + 90 x^{2} + 15 x + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 243 x^{5}\, dx = 243 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{81 x^{6}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 405 x^{4}\, dx = 405 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $81 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 270 x^{3}\, dx = 270 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{135 x^{4}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 90 x^{2}\, dx = 90 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $30 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15 x\, dx = 15 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{15 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $\frac{81 x^{6}}{2} + 81 x^{5} + \frac{135 x^{4}}{2} + 30 x^{3} + \frac{15 x^{2}}{2} + x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 x + 1\right)^{6}}{18}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x + 1\right)^{6}}{18}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x + 1\right)^{6}}{18}+ \mathrm{constant}$