Integral de (x(x^2-x+2)(3-x))/2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{x \left(\left(x^{2} - x\right) + 2\right) \left(3 - x\right)}{2}\, dx = \frac{\int x \left(3 - x\right) \left(\left(x^{2} - x\right) + 2\right)\, dx}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u^{4} + 4 u^{3} + 5 u^{2} + 6 u\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 u^{3}\, du = 4 \int u^{3}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $u^{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 5 u^{2}\, du = 5 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 6 u\, du = 6 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $3 u^{2}$

            El resultado es: $\frac{u^{5}}{5} + u^{4} + \frac{5 u^{3}}{3} + 3 u^{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{x^{5}}{5} + x^{4} - \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x^{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $x \left(3 - x\right) \left(\left(x^{2} - x\right) + 2\right) = - x^{4} + 4 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- x^{4}\right)\, dx = - \int x^{4}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 x^{3}\, dx = 4 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 5 x^{2}\right)\, dx = - 5 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 x\, dx = 6 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{2}$

         El resultado es: $- \frac{x^{5}}{5} + x^{4} - \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x^{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{2} - \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{3 x^{2}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(- 3 x^{3} + 15 x^{2} - 25 x + 45\right)}{30}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(- 3 x^{3} + 15 x^{2} - 25 x + 45\right)}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(- 3 x^{3} + 15 x^{2} - 25 x + 45\right)}{30}+ \mathrm{constant}$