Integral de (x+1)(2/x-1/x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u^{2} - u - 2}{u^{2}}\, du$

      1. que $u = - u$.

         Luego que $du = - du$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{u^{2} + u - 2}{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2} + u - 2}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u^{2} + u - 2}{u^{2}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{2} + u - 2}{u^{2}} = 1 + \frac{1}{u} - \frac{2}{u^{2}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u}$

               El resultado es: $u + \log{\left(u \right)} + \frac{2}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u - \log{\left(u \right)} - \frac{2}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $u - \log{\left(- u \right)} + \frac{2}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 x - \log{\left(- \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 1\right) \left(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x}\right) = 2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{x}$

      El resultado es: $2 x + \log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 1\right) \left(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x}\right) = \frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x^{2} + x - 1}{x^{2}} = 2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{x}$

      El resultado es: $2 x + \log{\left(x \right)} + \frac{1}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x - \log{\left(- \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x - \log{\left(- \frac{1}{x} \right)} + \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$