Integral de 1/(b-a)(x-((a+b)/2))^2 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\left(x - \frac{a + b}{2}\right)^{2}}{- a + b}\, dx = \frac{\int \left(x - \frac{a + b}{2}\right)^{2}\, dx}{- a + b}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x - \frac{a + b}{2}$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(x - \frac{a + b}{2}\right)^{3}}{3}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(x - \frac{a + b}{2}\right)^{2} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{a b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + x^{2} + x \left(- a - b\right)$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{a^{2}}{4}\, dx = \frac{a^{2} x}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{a b}{2}\, dx = \frac{a b x}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{b^{2}}{4}\, dx = \frac{b^{2} x}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int x \left(- a - b\right)\, dx = \left(- a - b\right) \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2} \left(- a - b\right)}{2}$

         El resultado es: $\frac{a^{2} x}{4} + \frac{a b x}{2} + \frac{b^{2} x}{4} + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2} \left(- a - b\right)}{2}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(x - \frac{a + b}{2}\right)^{2} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{a b}{2} - a x + \frac{b^{2}}{4} - b x + x^{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{a^{2}}{4}\, dx = \frac{a^{2} x}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{a b}{2}\, dx = \frac{a b x}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- a x\right)\, dx = - a \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{a x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{b^{2}}{4}\, dx = \frac{b^{2} x}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- b x\right)\, dx = - b \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{b x^{2}}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         El resultado es: $\frac{a^{2} x}{4} + \frac{a b x}{2} - \frac{a x^{2}}{2} + \frac{b^{2} x}{4} - \frac{b x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(x - \frac{a + b}{2}\right)^{3}}{3 \left(- a + b\right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(a + b - 2 x\right)^{3}}{24 a - 24 b}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(a + b - 2 x\right)^{3}}{24 a - 24 b}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(a + b - 2 x\right)^{3}}{24 a - 24 b}+ \mathrm{constant}$