Integral de e^(2*x)*sin(e^x) dx

1. que $u = e^{x}$.

   Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

   $\int u \sin{\left(u \right)}\, du$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(u \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)} + \sin{\left(e^{x} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)} + \sin{\left(e^{x} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)} + \sin{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)} + \sin{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$