Integral de ∫x(5x+6)^7dx dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(5 x + 6\right)^{7} = 78125 x^{8} + 656250 x^{7} + 2362500 x^{6} + 4725000 x^{5} + 5670000 x^{4} + 4082400 x^{3} + 1632960 x^{2} + 279936 x$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 78125 x^{8}\, dx = 78125 \int x^{8}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{78125 x^{9}}{9}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 656250 x^{7}\, dx = 656250 \int x^{7}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{328125 x^{8}}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2362500 x^{6}\, dx = 2362500 \int x^{6}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $337500 x^{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4725000 x^{5}\, dx = 4725000 \int x^{5}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $787500 x^{6}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5670000 x^{4}\, dx = 5670000 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $1134000 x^{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4082400 x^{3}\, dx = 4082400 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $1020600 x^{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1632960 x^{2}\, dx = 1632960 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $544320 x^{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 279936 x\, dx = 279936 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $139968 x^{2}$

   El resultado es: $\frac{78125 x^{9}}{9} + \frac{328125 x^{8}}{4} + 337500 x^{7} + 787500 x^{6} + 1134000 x^{5} + 1020600 x^{4} + 544320 x^{3} + 139968 x^{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(312500 x^{7} + 2953125 x^{6} + 12150000 x^{5} + 28350000 x^{4} + 40824000 x^{3} + 36741600 x^{2} + 19595520 x + 5038848\right)}{36}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(312500 x^{7} + 2953125 x^{6} + 12150000 x^{5} + 28350000 x^{4} + 40824000 x^{3} + 36741600 x^{2} + 19595520 x + 5038848\right)}{36}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(312500 x^{7} + 2953125 x^{6} + 12150000 x^{5} + 28350000 x^{4} + 40824000 x^{3} + 36741600 x^{2} + 19595520 x + 5038848\right)}{36}+ \mathrm{constant}$