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Resolución de integrales/ x*e^x/ Cos(x)/ Cos(x)*x*e^x

Integral de Cos(x)*x*e^x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
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 |                
 |            x   
 |  cos(x)*x*E  dx
 |                
/                 
0
∫01exxcos⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} e^{x} x \cos{\left(x \right)}\, dx 
Integral((cos(x)*x)*E^x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=excos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x} \cos{\left(x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando excos⁡(x)e^{x} \cos{\left(x \right)}:

        que u(x)=cos⁡(x)u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

        Entonces ∫excos⁡(x) dx=excos⁡(x)−∫(−exsin⁡(x)) dx\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx.

      2. Para el integrando −exsin⁡(x)- e^{x} \sin{\left(x \right)}:

        que u(x)=−sin⁡(x)u{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

        Entonces ∫excos⁡(x) dx=exsin⁡(x)+excos⁡(x)+∫(−excos⁡(x)) dx\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

        2∫excos⁡(x) dx=exsin⁡(x)+excos⁡(x)2 \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto,

        ∫excos⁡(x) dx=exsin⁡(x)2+excos⁡(x)2\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫exsin⁡(x)2 dx=∫exsin⁡(x) dx2\int \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx}{2}

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando exsin⁡(x)e^{x} \sin{\left(x \right)}:

          que u(x)=sin⁡(x)u{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces ∫exsin⁡(x) dx=exsin⁡(x)−∫excos⁡(x) dx\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx.

        2. Para el integrando excos⁡(x)e^{x} \cos{\left(x \right)}:

          que u(x)=cos⁡(x)u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces ∫exsin⁡(x) dx=exsin⁡(x)−excos⁡(x)+∫(−exsin⁡(x)) dx\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          2∫exsin⁡(x) dx=exsin⁡(x)−excos⁡(x)2 \int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} - e^{x} \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto,

          ∫exsin⁡(x) dx=exsin⁡(x)2−excos⁡(x)2\int e^{x} \sin{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: exsin⁡(x)4−excos⁡(x)4\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{4} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{4}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫excos⁡(x)2 dx=∫excos⁡(x) dx2\int \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

        1. Para el integrando excos⁡(x)e^{x} \cos{\left(x \right)}:

          que u(x)=cos⁡(x)u{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces ∫excos⁡(x) dx=excos⁡(x)−∫(−exsin⁡(x)) dx\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \cos{\left(x \right)} - \int \left(- e^{x} \sin{\left(x \right)}\right)\, dx.

        2. Para el integrando −exsin⁡(x)- e^{x} \sin{\left(x \right)}:

          que u(x)=−sin⁡(x)u{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces ∫excos⁡(x) dx=exsin⁡(x)+excos⁡(x)+∫(−excos⁡(x)) dx\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} + \int \left(- e^{x} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx.

        3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

          2∫excos⁡(x) dx=exsin⁡(x)+excos⁡(x)2 \int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto,

          ∫excos⁡(x) dx=exsin⁡(x)2+excos⁡(x)2\int e^{x} \cos{\left(x \right)}\, dx = \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: exsin⁡(x)4+excos⁡(x)4\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{4}

    El resultado es: exsin⁡(x)2\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2}

  3. Ahora simplificar:

    (2xsin⁡(x+π4)−sin⁡(x))ex2\frac{\left(\sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) e^{x}}{2}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (2xsin⁡(x+π4)−sin⁡(x))ex2+constant\frac{\left(\sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) e^{x}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(2xsin⁡(x+π4)−sin⁡(x))ex2+constant\frac{\left(\sqrt{2} x \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) e^{x}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |                        /        x    x       \    x       
 |           x            |cos(x)*e    e *sin(x)|   e *sin(x)
 | cos(x)*x*E  dx = C + x*|--------- + ---------| - ---------
 |                        \    2           2    /       2    
/
∫exxcos⁡(x) dx=C+x(exsin⁡(x)2+excos⁡(x)2)−exsin⁡(x)2\int e^{x} x \cos{\left(x \right)}\, dx = C + x \left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2}\right) - \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
E*cos(1)
--------
   2
ecos⁡(1)2\frac{e \cos{\left(1 \right)}}{2} 
=
= 
E*cos(1)
--------
   2
ecos⁡(1)2\frac{e \cos{\left(1 \right)}}{2} 
E*cos(1)/2
Respuesta numérica [src] 
0.734346969957943
0.734346969957943

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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