Integral de 1/sqrt(x+3)+sqrt[3](x+3)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \sqrt{3} \left(x + 3\right)^{2}\, dx = \sqrt{3} \int \left(x + 3\right)^{2}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = x + 3$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(x + 3\right)^{3}}{3}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(x + 3\right)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 6 x\, dx = 6 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 9\, dx = 9 x$

            El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + 3 x^{2} + 9 x$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \left(x + 3\right)^{3}}{3}$

   1. que $u = \sqrt{x + 3}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 3}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x + 3}$

   El resultado es: $2 \sqrt{x + 3} + \frac{\sqrt{3} \left(x + 3\right)^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \sqrt{x + 3} + \frac{\sqrt{3} \left(x + 3\right)^{3}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x + 3} + \frac{\sqrt{3} \left(x + 3\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x + 3} + \frac{\sqrt{3} \left(x + 3\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$