Integral de e^(-x)*x^3 dx

1. que $u = - x$.

   Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

   $\int u^{3} e^{u}\, du$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = 6 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 6 e^{u}\, du = 6 \int e^{u}\, du$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{u}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}$

2. Ahora simplificar:

   $- \left(x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 6\right) e^{- x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 6\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 6\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$