Integral de (10*x)/(sqrt(8*x^2+4)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{8 x^{2} + 4}$.

      Luego que $du = \frac{8 x dx}{\sqrt{8 x^{2} + 4}}$ y ponemos $\frac{5 du}{4}$:

      $\int \frac{5}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5 \sqrt{8 x^{2} + 4}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{10 x}{\sqrt{8 x^{2} + 4}} = \frac{5 x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{5 x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\, dx = 5 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 1}}\, dx$

      1. que $u = 2 x^{2} + 1$.

         Luego que $du = 4 x dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{1}{4 \sqrt{u}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{u}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sqrt{2 x^{2} + 1}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{5 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 \sqrt{2 x^{2} + 1}}{2}+ \mathrm{constant}$