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Resolución de integrales/ ((2cos(x)^2-2sin(x))(-2sint)+(2cos(x)+(2sin(x))^2)*2cos(x))

Integral de ((2cos(x)^2-2sin(x))(-2sint)+(2cos(x)+(2sin(x))^2)*2cos(x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                                                          
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 |  \\2*cos (x) - 2*sin(x)/*-2*sin(t) + \2*cos(x) + (2*sin(x)) /*2*cos(x)/ dx
 |                                                                           
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0
∫01(2((2sin⁡(x))2+2cos⁡(x))cos⁡(x)+(−2sin⁡(x)+2cos⁡2(x))(−2sin⁡(t))) dx\int\limits_{0}^{1} \left(2 \left(\left(2 \sin{\left(x \right)}\right)^{2} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} + \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \left(- 2 \sin{\left(t \right)}\right)\right)\, dx 
Integral((2*cos(x)^2 - 2*sin(x))*(-2*sin(t)) + ((2*cos(x) + (2*sin(x))^2)*2)*cos(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        2((2sin⁡(x))2+2cos⁡(x))cos⁡(x)=8sin⁡2(x)cos⁡(x)+4cos⁡2(x)2 \left(\left(2 \sin{\left(x \right)}\right)^{2} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫8sin⁡2(x)cos⁡(x) dx=8∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 8 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u2 du\int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 8sin⁡3(x)3\frac{8 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4cos⁡2(x) dx=4∫cos⁡2(x) dx\int 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: 2x+sin⁡(2x)2 x + \sin{\left(2 x \right)}

        El resultado es: 2x+8sin⁡3(x)3+sin⁡(2x)2 x + \frac{8 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        2((2sin⁡(x))2+2cos⁡(x))cos⁡(x)=8sin⁡2(x)cos⁡(x)+4cos⁡2(x)2 \left(\left(2 \sin{\left(x \right)}\right)^{2} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫8sin⁡2(x)cos⁡(x) dx=8∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int 8 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 8 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u2 du\int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 8sin⁡3(x)3\frac{8 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4cos⁡2(x) dx=4∫cos⁡2(x) dx\int 4 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: 2x+sin⁡(2x)2 x + \sin{\left(2 x \right)}

        El resultado es: 2x+8sin⁡3(x)3+sin⁡(2x)2 x + \frac{8 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2sin⁡(x)+2cos⁡2(x))(−2sin⁡(t)) dx=−2sin⁡(t)∫(−2sin⁡(x)+2cos⁡2(x)) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \left(- 2 \sin{\left(t \right)}\right)\, dx = - 2 \sin{\left(t \right)} \int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2sin⁡(x)) dx=−2∫sin⁡(x) dx\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡(x)2 \cos{\left(x \right)}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2cos⁡2(x) dx=2∫cos⁡2(x) dx\int 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del coseno es seno:

                    ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: x+sin⁡(2x)2x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        El resultado es: x+sin⁡(2x)2+2cos⁡(x)x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + 2 \cos{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −2(x+sin⁡(2x)2+2cos⁡(x))sin⁡(t)- 2 \left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(t \right)}

    El resultado es: 2x−2(x+sin⁡(2x)2+2cos⁡(x))sin⁡(t)+8sin⁡3(x)3+sin⁡(2x)2 x - 2 \left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(t \right)} + \frac{8 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    2x−(2x+sin⁡(2x)+4cos⁡(x))sin⁡(t)+8sin⁡3(x)3+sin⁡(2x)2 x - \left(2 x + \sin{\left(2 x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(t \right)} + \frac{8 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2x−(2x+sin⁡(2x)+4cos⁡(x))sin⁡(t)+8sin⁡3(x)3+sin⁡(2x)+constant2 x - \left(2 x + \sin{\left(2 x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(t \right)} + \frac{8 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2x−(2x+sin⁡(2x)+4cos⁡(x))sin⁡(t)+8sin⁡3(x)3+sin⁡(2x)+constant2 x - \left(2 x + \sin{\left(2 x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(t \right)} + \frac{8 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                               
 |                                                                                            3                                                   
 | //     2              \             /                     2\         \                8*sin (x)     /    sin(2*x)           \                  
 | \\2*cos (x) - 2*sin(x)/*-2*sin(t) + \2*cos(x) + (2*sin(x)) /*2*cos(x)/ dx = C + 2*x + --------- - 2*|x + -------- + 2*cos(x)|*sin(t) + sin(2*x)
 |                                                                                           3         \       2               /                  
/
∫(2((2sin⁡(x))2+2cos⁡(x))cos⁡(x)+(−2sin⁡(x)+2cos⁡2(x))(−2sin⁡(t))) dx=C+2x−2(x+sin⁡(2x)2+2cos⁡(x))sin⁡(t)+8sin⁡3(x)3+sin⁡(2x)\int \left(2 \left(\left(2 \sin{\left(x \right)}\right)^{2} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} + \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \left(- 2 \sin{\left(t \right)}\right)\right)\, dx = C + 2 x - 2 \left(x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(t \right)} + \frac{8 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(2 x \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
                                        3                                                                               
     2           2                 8*sin (1)     /   2         2                              \                         
2*cos (1) + 2*sin (1) + 4*sin(t) + --------- - 2*\cos (1) + sin (1) + 2*cos(1) + cos(1)*sin(1)/*sin(t) + 2*cos(1)*sin(1)
                                       3
−2(cos⁡2(1)+sin⁡(1)cos⁡(1)+sin⁡2(1)+2cos⁡(1))sin⁡(t)+4sin⁡(t)+2cos⁡2(1)+2sin⁡(1)cos⁡(1)+2sin⁡2(1)+8sin⁡3(1)3- 2 \left(\cos^{2}{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + \sin^{2}{\left(1 \right)} + 2 \cos{\left(1 \right)}\right) \sin{\left(t \right)} + 4 \sin{\left(t \right)} + 2 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 2 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 2 \sin^{2}{\left(1 \right)} + \frac{8 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} 
=
= 
                                        3                                                                               
     2           2                 8*sin (1)     /   2         2                              \                         
2*cos (1) + 2*sin (1) + 4*sin(t) + --------- - 2*\cos (1) + sin (1) + 2*cos(1) + cos(1)*sin(1)/*sin(t) + 2*cos(1)*sin(1)
                                       3
−2(cos⁡2(1)+sin⁡(1)cos⁡(1)+sin⁡2(1)+2cos⁡(1))sin⁡(t)+4sin⁡(t)+2cos⁡2(1)+2sin⁡(1)cos⁡(1)+2sin⁡2(1)+8sin⁡3(1)3- 2 \left(\cos^{2}{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + \sin^{2}{\left(1 \right)} + 2 \cos{\left(1 \right)}\right) \sin{\left(t \right)} + 4 \sin{\left(t \right)} + 2 \cos^{2}{\left(1 \right)} + 2 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} + 2 \sin^{2}{\left(1 \right)} + \frac{8 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} 
2*cos(1)^2 + 2*sin(1)^2 + 4*sin(t) + 8*sin(1)^3/3 - 2*(cos(1)^2 + sin(1)^2 + 2*cos(1) + cos(1)*sin(1))*sin(t) + 2*cos(1)*sin(1)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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