Integral de (-exp(x/2)+(x/2)-1)(2*exp(x)-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\left(u^{2} e^{\frac{3 u}{2}} + 2 u e^{\frac{3 u}{2}} + 2 u e^{\frac{u}{2}} + 2 u e^{u} + 4 e^{\frac{u}{2}} + 4\right) e^{- \frac{3 u}{2}}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(u^{2} e^{\frac{3 u}{2}} + 2 u e^{\frac{3 u}{2}} + 2 u e^{\frac{u}{2}} + 2 u e^{u} + 4 e^{\frac{u}{2}} + 4\right) e^{- \frac{3 u}{2}}\, du = \frac{\int \left(u^{2} e^{\frac{3 u}{2}} + 2 u e^{\frac{3 u}{2}} + 2 u e^{\frac{u}{2}} + 2 u e^{u} + 4 e^{\frac{u}{2}} + 4\right) e^{- \frac{3 u}{2}}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(u^{2} e^{\frac{3 u}{2}} + 2 u e^{\frac{3 u}{2}} + 2 u e^{\frac{u}{2}} + 2 u e^{u} + 4 e^{\frac{u}{2}} + 4\right) e^{- \frac{3 u}{2}} = u^{2} + 2 u + 2 u e^{- u} + 2 u e^{- \frac{u}{2}} + 4 e^{- u} + 4 e^{- \frac{3 u}{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u e^{- u}\, du = 2 \int u e^{- u}\, du$

               1. que $u = - u$.

                  Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

                  $\int u e^{u}\, du$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- u e^{- u} - e^{- u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u e^{- u} - 2 e^{- u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 u e^{- \frac{u}{2}}\, du = 2 \int u e^{- \frac{u}{2}}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- \frac{u}{2}}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. que $u = - \frac{u}{2}$.

                     Luego que $du = - \frac{du}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

                     $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\text{False}$

                        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                           $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- 2 e^{- \frac{u}{2}}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2 e^{- \frac{u}{2}}\right)\, du = - 2 \int e^{- \frac{u}{2}}\, du$

                  1. que $u = - \frac{u}{2}$.

                     Luego que $du = - \frac{du}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

                     $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\text{False}$

                        1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                           $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- 2 e^{- \frac{u}{2}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{- \frac{u}{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 4 u e^{- \frac{u}{2}} - 8 e^{- \frac{u}{2}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 e^{- u}\, du = 4 \int e^{- u}\, du$

               1. que $u = - u$.

                  Luego que $du = - du$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- e^{- u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 4 e^{- u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 e^{- \frac{3 u}{2}}\, du = 4 \int e^{- \frac{3 u}{2}}\, du$

               1. que $u = - \frac{3 u}{2}$.

                  Luego que $du = - \frac{3 du}{2}$ y ponemos $- \frac{2 du}{3}$:

                  $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{3}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 e^{u}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{2 e^{- \frac{3 u}{2}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 e^{- \frac{3 u}{2}}}{3}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + u^{2} - 2 u e^{- u} - 4 u e^{- \frac{u}{2}} - 6 e^{- u} - 8 e^{- \frac{u}{2}} - \frac{8 e^{- \frac{3 u}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6} + \frac{u^{2}}{2} - u e^{- u} - 2 u e^{- \frac{u}{2}} - 3 e^{- u} - 4 e^{- \frac{u}{2}} - \frac{4 e^{- \frac{3 u}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x e^{\frac{x}{2}} + x e^{x} - \frac{4 e^{\frac{3 x}{2}}}{3} - 4 e^{\frac{x}{2}} - 3 e^{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(- x + 2 e^{x}\right) \left(\left(\frac{x}{2} - e^{\frac{x}{2}}\right) - 1\right) = - \frac{x^{2}}{2} + x e^{\frac{x}{2}} + x e^{x} + x - 2 e^{\frac{3 x}{2}} - 2 e^{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{2}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x^{2}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{6}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{x}{2}}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx$

         1. que $u = \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{x}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{\frac{x}{2}}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 e^{\frac{3 x}{2}}\right)\, dx = - 2 \int e^{\frac{3 x}{2}}\, dx$

         1. que $u = \frac{3 x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

            $\int \frac{2 e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 e^{x}\right)\, dx = - 2 \int e^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{x}$

      El resultado es: $- \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x e^{\frac{x}{2}} + x e^{x} - \frac{4 e^{\frac{3 x}{2}}}{3} - 4 e^{\frac{x}{2}} - 3 e^{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(- x + 2 e^{x}\right) \left(\left(\frac{x}{2} - e^{\frac{x}{2}}\right) - 1\right) = - \frac{x^{2}}{2} + x e^{\frac{x}{2}} + x e^{x} + x - 2 e^{\frac{3 x}{2}} - 2 e^{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{2}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x^{2}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{3}}{6}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{x}{2}}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx$

         1. que $u = \frac{x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

            $\int 2 e^{u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 e^{\frac{x}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{\frac{x}{2}}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 e^{\frac{3 x}{2}}\right)\, dx = - 2 \int e^{\frac{3 x}{2}}\, dx$

         1. que $u = \frac{3 x}{2}$.

            Luego que $du = \frac{3 dx}{2}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

            $\int \frac{2 e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 e^{\frac{3 x}{2}}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 e^{x}\right)\, dx = - 2 \int e^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{x}$

      El resultado es: $- \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x e^{\frac{x}{2}} + x e^{x} - \frac{4 e^{\frac{3 x}{2}}}{3} - 4 e^{\frac{x}{2}} - 3 e^{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x e^{\frac{x}{2}} + x e^{x} - \frac{4 e^{\frac{3 x}{2}}}{3} - 4 e^{\frac{x}{2}} - 3 e^{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x e^{\frac{x}{2}} + x e^{x} - \frac{4 e^{\frac{3 x}{2}}}{3} - 4 e^{\frac{x}{2}} - 3 e^{x}+ \mathrm{constant}$