Integral de (6-x)/(3x^2-1) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{6 - x}{3 x^{2} - 1} = - \frac{x}{3 x^{2} - 1} + \frac{6}{3 x^{2} - 1}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x}{3 x^{2} - 1}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{6 x}{3 x^{2} - 1}\, dx}{6}$

      1. que $u = 3 x^{2} - 1$.

         Luego que $du = 6 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

         $\int \left(- \frac{1}{6 u}\right)\, du$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{6}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{6}{3 x^{2} - 1}\, dx = 6 \int \frac{1}{3 x^{2} - 1}\, dx$

      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=3, c=-1, context=1/(3*x**2 - 1), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=3, c=-1, context=1/(3*x**2 - 1), symbol=x), x**2 > 1/3), (ArctanhRule(a=1, b=3, c=-1, context=1/(3*x**2 - 1), symbol=x), x**2 < 1/3)], context=1/(3*x**2 - 1), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $6 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{3} \\- \frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{3} \end{cases}\right)$

   El resultado es: $6 \left(\begin{cases} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{3} \\- \frac{\sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{3} \end{cases}\right) - \frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{6}$

3. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} - (\frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{6} + 2 \sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{3} x \right)}) & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{3} \\- (\frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{6} + 2 \sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{3} x \right)}) & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{3} \end{cases}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} - (\frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{6} + 2 \sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{3} x \right)}) & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{3} \\- (\frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{6} + 2 \sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{3} x \right)}) & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} - (\frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{6} + 2 \sqrt{3} \operatorname{acoth}{\left(\sqrt{3} x \right)}) & \text{for}\: x^{2} > \frac{1}{3} \\- (\frac{\log{\left(3 x^{2} - 1 \right)}}{6} + 2 \sqrt{3} \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{3} x \right)}) & \text{for}\: x^{2} < \frac{1}{3} \end{cases}+ \mathrm{constant}$