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Resolución de integrales/ x^2+3/ e^(2x)/ (x^2+3x-1)e^(2x)

Integral de (x^2+3x-1)e^(2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |  / 2          \  2*x   
 |  \x  + 3*x - 1/*E    dx
 |                        
/                         
0
∫01e2x((x2+3x)−1) dx\int\limits_{0}^{1} e^{2 x} \left(\left(x^{2} + 3 x\right) - 1\right)\, dx 
Integral((x^2 + 3*x - 1)*E^(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e2x((x2+3x)−1)=x2e2x+3xe2x−e2xe^{2 x} \left(\left(x^{2} + 3 x\right) - 1\right) = x^{2} e^{2 x} + 3 x e^{2 x} - e^{2 x}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=e2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫e2x2 dx=∫e2x dx2\int \frac{e^{2 x}}{2}\, dx = \frac{\int e^{2 x}\, dx}{2}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: e2x4\frac{e^{2 x}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xe2x dx=3∫xe2x dx\int 3 x e^{2 x}\, dx = 3 \int x e^{2 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2x2 dx=∫e2x dx2\int \frac{e^{2 x}}{2}\, dx = \frac{\int e^{2 x}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2x4\frac{e^{2 x}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3xe2x2−3e2x4\frac{3 x e^{2 x}}{2} - \frac{3 e^{2 x}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−e2x) dx=−∫e2x dx\int \left(- e^{2 x}\right)\, dx = - \int e^{2 x}\, dx

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −e2x2- \frac{e^{2 x}}{2}

      El resultado es: x2e2x2+xe2x−e2x\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - e^{2 x}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e2x((x2+3x)−1)=x2e2x+3xe2x−e2xe^{2 x} \left(\left(x^{2} + 3 x\right) - 1\right) = x^{2} e^{2 x} + 3 x e^{2 x} - e^{2 x}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=e2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}.

        Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫e2x2 dx=∫e2x dx2\int \frac{e^{2 x}}{2}\, dx = \frac{\int e^{2 x}\, dx}{2}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: e2x4\frac{e^{2 x}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xe2x dx=3∫xe2x dx\int 3 x e^{2 x}\, dx = 3 \int x e^{2 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2x2 dx=∫e2x dx2\int \frac{e^{2 x}}{2}\, dx = \frac{\int e^{2 x}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2x4\frac{e^{2 x}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3xe2x2−3e2x4\frac{3 x e^{2 x}}{2} - \frac{3 e^{2 x}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−e2x) dx=−∫e2x dx\int \left(- e^{2 x}\right)\, dx = - \int e^{2 x}\, dx

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −e2x2- \frac{e^{2 x}}{2}

      El resultado es: x2e2x2+xe2x−e2x\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - e^{2 x}

  2. Ahora simplificar:

    (x22+x−1)e2x\left(\frac{x^{2}}{2} + x - 1\right) e^{2 x}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (x22+x−1)e2x+constant\left(\frac{x^{2}}{2} + x - 1\right) e^{2 x}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(x22+x−1)e2x+constant\left(\frac{x^{2}}{2} + x - 1\right) e^{2 x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                    
 |                                               2  2*x
 | / 2          \  2*x           2*x      2*x   x *e   
 | \x  + 3*x - 1/*E    dx = C - e    + x*e    + -------
 |                                                 2   
/
∫e2x((x2+3x)−1) dx=C+x2e2x2+xe2x−e2x\int e^{2 x} \left(\left(x^{2} + 3 x\right) - 1\right)\, dx = C + \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + x e^{2 x} - e^{2 x}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2525
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     2
    e 
1 + --
    2
1+e221 + \frac{e^{2}}{2} 
=
= 
     2
    e 
1 + --
    2
1+e221 + \frac{e^{2}}{2} 
1 + exp(2)/2
Respuesta numérica [src] 
4.69452804946533
4.69452804946533

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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