Integral de x^2(2-x^3)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 - x^{3}$.

      Luego que $du = - 3 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{u^{2}}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(2 - x^{3}\right)^{3}}{9}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(2 - x^{3}\right)^{2} = x^{8} - 4 x^{5} + 4 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4 x^{5}\right)\, dx = - 4 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{6}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{9}}{9} - \frac{2 x^{6}}{3} + \frac{4 x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{3} - 2\right)^{3}}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{3} - 2\right)^{3}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{3} - 2\right)^{3}}{9}+ \mathrm{constant}$