Integral de e^(t*(-2))*cos(e^(-t)) dx

1. que $u = e^{- t}$.

   Luego que $du = - e^{- t} dt$ y ponemos $- du$:

   $\int \left(- u \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u \cos{\left(u \right)}\, du = - \int u \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- u \sin{\left(u \right)} - \cos{\left(u \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \cos{\left(e^{- t} \right)} - e^{- t} \sin{\left(e^{- t} \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $- \cos{\left(e^{- t} \right)} - e^{- t} \sin{\left(e^{- t} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \cos{\left(e^{- t} \right)} - e^{- t} \sin{\left(e^{- t} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \cos{\left(e^{- t} \right)} - e^{- t} \sin{\left(e^{- t} \right)}+ \mathrm{constant}$