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Resolución de integrales/ 2*x+3/ 4*x+1/ (x^2*(-4)+4*x+1)/(2*x+3)

Integral de (x^2*(-4)+4*x+1)/(2*x+3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                     
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 |                      
 |   2                  
 |  x *(-4) + 4*x + 1   
 |  ----------------- dx
 |       2*x + 3        
 |                      
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0
∫01((−4)x2+4x)+12x+3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(\left(-4\right) x^{2} + 4 x\right) + 1}{2 x + 3}\, dx 
Integral((x^2*(-4) + 4*x + 1)/(2*x + 3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((−4)x2+4x)+12x+3=−2x+5−142x+3\frac{\left(\left(-4\right) x^{2} + 4 x\right) + 1}{2 x + 3} = - 2 x + 5 - \frac{14}{2 x + 3}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2x) dx=−2∫x dx\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2- x^{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫5 dx=5x\int 5\, dx = 5 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−142x+3) dx=−14∫12x+3 dx\int \left(- \frac{14}{2 x + 3}\right)\, dx = - 14 \int \frac{1}{2 x + 3}\, dx

        1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2x+3)2\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −7log⁡(2x+3)- 7 \log{\left(2 x + 3 \right)}

      El resultado es: −x2+5x−7log⁡(2x+3)- x^{2} + 5 x - 7 \log{\left(2 x + 3 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((−4)x2+4x)+12x+3=−4x2−4x−12x+3\frac{\left(\left(-4\right) x^{2} + 4 x\right) + 1}{2 x + 3} = - \frac{4 x^{2} - 4 x - 1}{2 x + 3}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−4x2−4x−12x+3) dx=−∫4x2−4x−12x+3 dx\int \left(- \frac{4 x^{2} - 4 x - 1}{2 x + 3}\right)\, dx = - \int \frac{4 x^{2} - 4 x - 1}{2 x + 3}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        4x2−4x−12x+3=2x−5+142x+3\frac{4 x^{2} - 4 x - 1}{2 x + 3} = 2 x - 5 + \frac{14}{2 x + 3}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2x dx=2∫x dx\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: x2x^{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−5) dx=−5x\int \left(-5\right)\, dx = - 5 x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫142x+3 dx=14∫12x+3 dx\int \frac{14}{2 x + 3}\, dx = 14 \int \frac{1}{2 x + 3}\, dx

          1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2x+3)2\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 7log⁡(2x+3)7 \log{\left(2 x + 3 \right)}

        El resultado es: x2−5x+7log⁡(2x+3)x^{2} - 5 x + 7 \log{\left(2 x + 3 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −x2+5x−7log⁡(2x+3)- x^{2} + 5 x - 7 \log{\left(2 x + 3 \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ((−4)x2+4x)+12x+3=−4x22x+3+4x2x+3+12x+3\frac{\left(\left(-4\right) x^{2} + 4 x\right) + 1}{2 x + 3} = - \frac{4 x^{2}}{2 x + 3} + \frac{4 x}{2 x + 3} + \frac{1}{2 x + 3}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4x22x+3) dx=−4∫x22x+3 dx\int \left(- \frac{4 x^{2}}{2 x + 3}\right)\, dx = - 4 \int \frac{x^{2}}{2 x + 3}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x22x+3=x2−34+94(2x+3)\frac{x^{2}}{2 x + 3} = \frac{x}{2} - \frac{3}{4} + \frac{9}{4 \left(2 x + 3\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−34) dx=−3x4\int \left(- \frac{3}{4}\right)\, dx = - \frac{3 x}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫94(2x+3) dx=9∫12x+3 dx4\int \frac{9}{4 \left(2 x + 3\right)}\, dx = \frac{9 \int \frac{1}{2 x + 3}\, dx}{4}

            1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2x+3)2\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 9log⁡(2x+3)8\frac{9 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{8}

          El resultado es: x24−3x4+9log⁡(2x+3)8\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{4} + \frac{9 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2+3x−9log⁡(2x+3)2- x^{2} + 3 x - \frac{9 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x2x+3 dx=4∫x2x+3 dx\int \frac{4 x}{2 x + 3}\, dx = 4 \int \frac{x}{2 x + 3}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x+3=12−32(2x+3)\frac{x}{2 x + 3} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2 \left(2 x + 3\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−32(2x+3)) dx=−3∫12x+3 dx2\int \left(- \frac{3}{2 \left(2 x + 3\right)}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{2 x + 3}\, dx}{2}

            1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2x+3)2\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −3log⁡(2x+3)4- \frac{3 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4}

          El resultado es: x2−3log⁡(2x+3)4\frac{x}{2} - \frac{3 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 2x−3log⁡(2x+3)2 x - 3 \log{\left(2 x + 3 \right)}

      1. que u=2x+3u = 2 x + 3.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(2x+3)2\frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

      El resultado es: −x2+5x−15log⁡(2x+3)2+log⁡(2x+3)2- x^{2} + 5 x - \frac{15 \log{\left(2 x + 3 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(2 x + 3 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −x2+5x−7log⁡(2x+3)+constant- x^{2} + 5 x - 7 \log{\left(2 x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x2+5x−7log⁡(2x+3)+constant- x^{2} + 5 x - 7 \log{\left(2 x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                    
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 |  2                                                  
 | x *(-4) + 4*x + 1           2                       
 | ----------------- dx = C - x  - 7*log(3 + 2*x) + 5*x
 |      2*x + 3                                        
 |                                                     
/
∫((−4)x2+4x)+12x+3 dx=C−x2+5x−7log⁡(2x+3)\int \frac{\left(\left(-4\right) x^{2} + 4 x\right) + 1}{2 x + 3}\, dx = C - x^{2} + 5 x - 7 \log{\left(2 x + 3 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
4 - 7*log(5) + 7*log(3)
−7log⁡(5)+4+7log⁡(3)- 7 \log{\left(5 \right)} + 4 + 7 \log{\left(3 \right)} 
=
= 
4 - 7*log(5) + 7*log(3)
−7log⁡(5)+4+7log⁡(3)- 7 \log{\left(5 \right)} + 4 + 7 \log{\left(3 \right)} 
4 - 7*log(5) + 7*log(3)
Respuesta numérica [src] 
0.424220633638065
0.424220633638065

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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