Integral de (log(x)+2)^9/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)} + 2$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int u^{9}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2\right)^{10}}{10}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2\right)^{9}}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{9} + 18 \log{\left(x \right)}^{8} + 144 \log{\left(x \right)}^{7} + 672 \log{\left(x \right)}^{6} + 2016 \log{\left(x \right)}^{5} + 4032 \log{\left(x \right)}^{4} + 5376 \log{\left(x \right)}^{3} + 4608 \log{\left(x \right)}^{2} + 2304 \log{\left(x \right)} + 512}{x}$

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{9} + 18 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{8} + 144 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7} + 672 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6} + 2016 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + 4032 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 5376 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 4608 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 2304 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 512}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{9} + 18 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{8} + 144 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7} + 672 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6} + 2016 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + 4032 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 5376 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 4608 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 2304 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 512}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{9} + 18 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{8} + 144 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7} + 672 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6} + 2016 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5} + 4032 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 5376 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 4608 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 2304 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 512}{u}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- u^{9} - 18 u^{8} - 144 u^{7} - 672 u^{6} - 2016 u^{5} - 4032 u^{4} - 5376 u^{3} - 4608 u^{2} - 2304 u - 512\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- u^{9}\right)\, du = - \int u^{9}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{10}}{10}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 18 u^{8}\right)\, du = - 18 \int u^{8}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u^{9}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 144 u^{7}\right)\, du = - 144 \int u^{7}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 18 u^{8}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 672 u^{6}\right)\, du = - 672 \int u^{6}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 96 u^{7}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2016 u^{5}\right)\, du = - 2016 \int u^{5}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 336 u^{6}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 4032 u^{4}\right)\, du = - 4032 \int u^{4}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4032 u^{5}}{5}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 5376 u^{3}\right)\, du = - 5376 \int u^{3}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 1344 u^{4}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 4608 u^{2}\right)\, du = - 4608 \int u^{2}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 1536 u^{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2304 u\right)\, du = - 2304 \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 1152 u^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(-512\right)\, du = - 512 u$

               El resultado es: $- \frac{u^{10}}{10} - 2 u^{9} - 18 u^{8} - 96 u^{7} - 336 u^{6} - \frac{4032 u^{5}}{5} - 1344 u^{4} - 1536 u^{3} - 1152 u^{2} - 512 u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{10}}{10} - 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{9} - 18 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{8} - 96 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7} - 336 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6} - \frac{4032 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{5} - 1344 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} - 1536 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} - 1152 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - 512 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{10}}{10} + 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{9} + 18 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{8} + 96 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7} + 336 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6} + \frac{4032 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{5} + 1344 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4} + 1536 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3} + 1152 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 512 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x \right)}^{10}}{10} + 2 \log{\left(x \right)}^{9} + 18 \log{\left(x \right)}^{8} + 96 \log{\left(x \right)}^{7} + 336 \log{\left(x \right)}^{6} + \frac{4032 \log{\left(x \right)}^{5}}{5} + 1344 \log{\left(x \right)}^{4} + 1536 \log{\left(x \right)}^{3} + 1152 \log{\left(x \right)}^{2} + 512 \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2\right)^{9}}{x} = \frac{\log{\left(x \right)}^{9}}{x} + \frac{18 \log{\left(x \right)}^{8}}{x} + \frac{144 \log{\left(x \right)}^{7}}{x} + \frac{672 \log{\left(x \right)}^{6}}{x} + \frac{2016 \log{\left(x \right)}^{5}}{x} + \frac{4032 \log{\left(x \right)}^{4}}{x} + \frac{5376 \log{\left(x \right)}^{3}}{x} + \frac{4608 \log{\left(x \right)}^{2}}{x} + \frac{2304 \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{512}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{9}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{9}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{9}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{9}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{9}\, du = - \int u^{9}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{10}}{10}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{10}}{10}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{10}}{10}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(x \right)}^{10}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{18 \log{\left(x \right)}^{8}}{x}\, dx = 18 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{8}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{8}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{8}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{8}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{8}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{9}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{9}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x \right)}^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{144 \log{\left(x \right)}^{7}}{x}\, dx = 144 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{7}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{7}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{7}\, du = - \int u^{7}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{8}}{8}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{8}}{8}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{8}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $18 \log{\left(x \right)}^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{672 \log{\left(x \right)}^{6}}{x}\, dx = 672 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{6}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7}}{7}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{7}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $96 \log{\left(x \right)}^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2016 \log{\left(x \right)}^{5}}{x}\, dx = 2016 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{5}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{5}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{5}\, du = - \int u^{5}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{6}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{6}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{6}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $336 \log{\left(x \right)}^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4032 \log{\left(x \right)}^{4}}{x}\, dx = 4032 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4032 \log{\left(x \right)}^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5376 \log{\left(x \right)}^{3}}{x}\, dx = 5376 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{3}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{4}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1344 \log{\left(x \right)}^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4608 \log{\left(x \right)}^{2}}{x}\, dx = 4608 \int \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1536 \log{\left(x \right)}^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2304 \log{\left(x \right)}}{x}\, dx = 2304 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1152 \log{\left(x \right)}^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{512}{x}\, dx = 512 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $512 \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}^{10}}{10} + 2 \log{\left(x \right)}^{9} + 18 \log{\left(x \right)}^{8} + 96 \log{\left(x \right)}^{7} + 336 \log{\left(x \right)}^{6} + \frac{4032 \log{\left(x \right)}^{5}}{5} + 1344 \log{\left(x \right)}^{4} + 1536 \log{\left(x \right)}^{3} + 1152 \log{\left(x \right)}^{2} + 512 \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2\right)^{10}}{10}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2\right)^{10}}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 2\right)^{10}}{10}+ \mathrm{constant}$