Integral de (3-(x^2)^1/3+9x)/(x)^1/3 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{9 x + \left(3 - \sqrt[3]{x^{2}}\right)}{\sqrt[3]{x}} = \frac{9 x}{\sqrt[3]{x}} - \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x}} + \frac{3}{\sqrt[3]{x}}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{9 x}{\sqrt[3]{x}}\, dx = 9 \int \frac{x}{\sqrt[3]{x}}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ y ponemos $- 3 du$:

         $\int \left(- \frac{3}{u^{6}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{5 u^{5}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{27 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x}}\right)\, dx = - \int \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x}}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x}}\, dx$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \int \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x}}\, dx$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3}{\sqrt[3]{x}}\, dx = 3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

   El resultado es: $\frac{27 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{9 x^{\frac{2}{3}}}{2} - \int \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x}}\, dx$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{27 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{9 x^{\frac{2}{3}}}{2} - \int \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x}}\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{27 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{9 x^{\frac{2}{3}}}{2} - \int \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[3]{x}}\, dx+ \mathrm{constant}$