Integral de (1-|x|)*cos(4x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \left|{x}\right|\right) \cos{\left(4 x \right)} = - \cos{\left(4 x \right)} \left|{x}\right| + \cos{\left(4 x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cos{\left(4 x \right)} \left|{x}\right|\right)\, dx = - \int \cos{\left(4 x \right)} \left|{x}\right|\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\int \cos{\left(4 x \right)} \left|{x}\right|\, dx$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \int \cos{\left(4 x \right)} \left|{x}\right|\, dx$

      1. que $u = 4 x$.

         Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

      El resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} - \int \cos{\left(4 x \right)} \left|{x}\right|\, dx$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(1 - \left|{x}\right|\right) \cos{\left(4 x \right)} = - \cos{\left(4 x \right)} \left|{x}\right| + \cos{\left(4 x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cos{\left(4 x \right)} \left|{x}\right|\right)\, dx = - \int \cos{\left(4 x \right)} \left|{x}\right|\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\int \cos{\left(4 x \right)} \left|{x}\right|\, dx$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \int \cos{\left(4 x \right)} \left|{x}\right|\, dx$

      1. que $u = 4 x$.

         Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$

      El resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} - \int \cos{\left(4 x \right)} \left|{x}\right|\, dx$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} - \int \cos{\left(4 x \right)} \left|{x}\right|\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} - \int \cos{\left(4 x \right)} \left|{x}\right|\, dx+ \mathrm{constant}$