Integral de e^(2x)/(1-3e^(2x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{2 x}$.

      Luego que $du = 2 e^{2 x} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{1}{6 u - 2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{6 u - 2}\, du = - \int \frac{1}{6 u - 2}\, du$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 6 u - 2$.

               Luego que $du = 6 du$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

               $\int \frac{1}{6 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(6 u - 2 \right)}}{6}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{1}{6 u - 2} = \frac{1}{2 \left(3 u - 1\right)}$

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{2 \left(3 u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{3 u - 1}\, du}{2}$

               1. que $u = 3 u - 1$.

                  Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

                  $\int \frac{1}{3 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(3 u - 1 \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(3 u - 1 \right)}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(6 u - 2 \right)}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(6 e^{2 x} - 2 \right)}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{2 x}}{1 - 3 e^{2 x}} = - \frac{e^{2 x}}{3 e^{2 x} - 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{e^{2 x}}{3 e^{2 x} - 1}\right)\, dx = - \int \frac{e^{2 x}}{3 e^{2 x} - 1}\, dx$

      1. que $u = 3 e^{2 x} - 1$.

         Luego que $du = 6 e^{2 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{1}{6 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(3 e^{2 x} - 1 \right)}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(3 e^{2 x} - 1 \right)}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(6 e^{2 x} - 2 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(6 e^{2 x} - 2 \right)}}{6}+ \mathrm{constant}$