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Resolución de integrales/ cos^2/ xsin2y+cos^2(x)+1

Integral de xsin2y+cos^2(x)+1 dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  y                              
  /                              
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 |  \x*sin(2*y) + cos (x) + 1/ dy
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1
∫1y((xsin⁡(2y)+cos⁡2(x))+1) dy\int\limits_{1}^{y} \left(\left(x \sin{\left(2 y \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + 1\right)\, dy 
Integral(x*sin(2*y) + cos(x)^2 + 1, (y, 1, y))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xsin⁡(2y) dy=x∫sin⁡(2y) dy\int x \sin{\left(2 y \right)}\, dy = x \int \sin{\left(2 y \right)}\, dy

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=2yu = 2 y.

            Luego que du=2dydu = 2 dy y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2y)2- \frac{\cos{\left(2 y \right)}}{2}

          Método #2

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2sin⁡(y)cos⁡(y) dy=2∫sin⁡(y)cos⁡(y) dy\int 2 \sin{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}\, dy = 2 \int \sin{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}\, dy

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. que u=cos⁡(y)u = \cos{\left(y \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(y)dydu = - \sin{\left(y \right)} dy y ponemos −du- du:

                ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡2(y)2- \frac{\cos^{2}{\left(y \right)}}{2}

              Método #2

              1. que u=sin⁡(y)u = \sin{\left(y \right)}.

                Luego que du=cos⁡(y)dydu = \cos{\left(y \right)} dy y ponemos dudu:

                ∫u du\int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡2(y)2\frac{\sin^{2}{\left(y \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(y)- \cos^{2}{\left(y \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −xcos⁡(2y)2- \frac{x \cos{\left(2 y \right)}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫cos⁡2(x) dy=ycos⁡2(x)\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dy = y \cos^{2}{\left(x \right)}

      El resultado es: −xcos⁡(2y)2+ycos⁡2(x)- \frac{x \cos{\left(2 y \right)}}{2} + y \cos^{2}{\left(x \right)}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dy=y\int 1\, dy = y

    El resultado es: −xcos⁡(2y)2+ycos⁡2(x)+y- \frac{x \cos{\left(2 y \right)}}{2} + y \cos^{2}{\left(x \right)} + y

  2. Añadimos la constante de integración:

    −xcos⁡(2y)2+ycos⁡2(x)+y+constant- \frac{x \cos{\left(2 y \right)}}{2} + y \cos^{2}{\left(x \right)} + y+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xcos⁡(2y)2+ycos⁡2(x)+y+constant- \frac{x \cos{\left(2 y \right)}}{2} + y \cos^{2}{\left(x \right)} + y+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                              
 |                                                               
 | /                2       \                   2      x*cos(2*y)
 | \x*sin(2*y) + cos (x) + 1/ dy = C + y + y*cos (x) - ----------
 |                                                         2     
/
∫((xsin⁡(2y)+cos⁡2(x))+1) dy=C−xcos⁡(2y)2+ycos⁡2(x)+y\int \left(\left(x \sin{\left(2 y \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + 1\right)\, dy = C - \frac{x \cos{\left(2 y \right)}}{2} + y \cos^{2}{\left(x \right)} + y
Simplificar
Respuesta [src] 
            2           2      x*cos(2)   x*cos(2*y)
-1 + y - cos (x) + y*cos (x) + -------- - ----------
                                  2           2
−xcos⁡(2y)2+xcos⁡(2)2+ycos⁡2(x)+y−cos⁡2(x)−1- \frac{x \cos{\left(2 y \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(2 \right)}}{2} + y \cos^{2}{\left(x \right)} + y - \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 
=
= 
            2           2      x*cos(2)   x*cos(2*y)
-1 + y - cos (x) + y*cos (x) + -------- - ----------
                                  2           2
−xcos⁡(2y)2+xcos⁡(2)2+ycos⁡2(x)+y−cos⁡2(x)−1- \frac{x \cos{\left(2 y \right)}}{2} + \frac{x \cos{\left(2 \right)}}{2} + y \cos^{2}{\left(x \right)} + y - \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 
-1 + y - cos(x)^2 + y*cos(x)^2 + x*cos(2)/2 - x*cos(2*y)/2

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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