Integral de (x+7)*e^(x+7) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x + 7$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{u}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{u}\, du = e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\left(x + 7\right) e^{x + 7} - e^{x + 7}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{x + 7} \left(x + 7\right) = x e^{7} e^{x} + 7 e^{7} e^{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int x e^{7} e^{x}\, dx = e^{7} \int x e^{x}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\left(x e^{x} - e^{x}\right) e^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7 e^{7} e^{x}\, dx = 7 e^{7} \int e^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $7 e^{7} e^{x}$

      El resultado es: $\left(x e^{x} - e^{x}\right) e^{7} + 7 e^{7} e^{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(x + 6\right) e^{x + 7}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(x + 6\right) e^{x + 7}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(x + 6\right) e^{x + 7}+ \mathrm{constant}$