Integral de (log(e^(i*t)))^3 dx

1. que $u = \log{\left(e^{i t} \right)}$.

   Luego que $du = i dt$ y ponemos $- i du$:

   $\int \left(- i u^{3}\right)\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u^{3}\, du = - i \int u^{3}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4} i}{4}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{i \log{\left(e^{i t} \right)}^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{i \log{\left(e^{i t} \right)}^{4}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{i \log{\left(e^{i t} \right)}^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{i \log{\left(e^{i t} \right)}^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$