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Resolución de integrales/ x^2-2/ 1/(x^2-2x)^2

Integral de 1/(x^2-2x)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |       1        
 |  ----------- dx
 |            2   
 |  / 2      \    
 |  \x  - 2*x/    
 |                
/                 
0
∫011(x2−2x)2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\left(x^{2} - 2 x\right)^{2}}\, dx 
Integral(1/((x^2 - 2*x)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(x2−2x)2=−14(x−2)+14(x−2)2+14x+14x2\frac{1}{\left(x^{2} - 2 x\right)^{2}} = - \frac{1}{4 \left(x - 2\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 2\right)^{2}} + \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4 x^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−14(x−2)) dx=−∫1x−2 dx4\int \left(- \frac{1}{4 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{4}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−2)4- \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫14(x−2)2 dx=∫1(x−2)2 dx4\int \frac{1}{4 \left(x - 2\right)^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\, dx}{4}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x−2- \frac{1}{x - 2}

        Por lo tanto, el resultado es: −14(x−2)- \frac{1}{4 \left(x - 2\right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫14x dx=∫1x dx4\int \frac{1}{4 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{4}

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)4\frac{\log{\left(x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫14x2 dx=∫1x2 dx4\int \frac{1}{4 x^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x^{2}}\, dx}{4}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

        Por lo tanto, el resultado es: −14x- \frac{1}{4 x}

      El resultado es: log⁡(x)4−log⁡(x−2)4−14(x−2)−14x\frac{\log{\left(x \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{4} - \frac{1}{4 \left(x - 2\right)} - \frac{1}{4 x}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(x2−2x)2=1x4−4x3+4x2\frac{1}{\left(x^{2} - 2 x\right)^{2}} = \frac{1}{x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x4−4x3+4x2=−14(x−2)+14(x−2)2+14x+14x2\frac{1}{x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}} = - \frac{1}{4 \left(x - 2\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 2\right)^{2}} + \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4 x^{2}}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−14(x−2)) dx=−∫1x−2 dx4\int \left(- \frac{1}{4 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{4}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−2)4- \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫14(x−2)2 dx=∫1(x−2)2 dx4\int \frac{1}{4 \left(x - 2\right)^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\, dx}{4}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x−2- \frac{1}{x - 2}

        Por lo tanto, el resultado es: −14(x−2)- \frac{1}{4 \left(x - 2\right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫14x dx=∫1x dx4\int \frac{1}{4 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{4}

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)4\frac{\log{\left(x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫14x2 dx=∫1x2 dx4\int \frac{1}{4 x^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x^{2}}\, dx}{4}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

        Por lo tanto, el resultado es: −14x- \frac{1}{4 x}

      El resultado es: log⁡(x)4−log⁡(x−2)4−14(x−2)−14x\frac{\log{\left(x \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{4} - \frac{1}{4 \left(x - 2\right)} - \frac{1}{4 x}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(x2−2x)2=1x4−4x3+4x2\frac{1}{\left(x^{2} - 2 x\right)^{2}} = \frac{1}{x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      1x4−4x3+4x2=−14(x−2)+14(x−2)2+14x+14x2\frac{1}{x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}} = - \frac{1}{4 \left(x - 2\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 2\right)^{2}} + \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4 x^{2}}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−14(x−2)) dx=−∫1x−2 dx4\int \left(- \frac{1}{4 \left(x - 2\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 2}\, dx}{4}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x−2)\log{\left(x - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x−2)4- \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫14(x−2)2 dx=∫1(x−2)2 dx4\int \frac{1}{4 \left(x - 2\right)^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\, dx}{4}

        1. que u=x−2u = x - 2.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −1x−2- \frac{1}{x - 2}

        Por lo tanto, el resultado es: −14(x−2)- \frac{1}{4 \left(x - 2\right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫14x dx=∫1x dx4\int \frac{1}{4 x}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x}\, dx}{4}

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x)4\frac{\log{\left(x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫14x2 dx=∫1x2 dx4\int \frac{1}{4 x^{2}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x^{2}}\, dx}{4}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

        Por lo tanto, el resultado es: −14x- \frac{1}{4 x}

      El resultado es: log⁡(x)4−log⁡(x−2)4−14(x−2)−14x\frac{\log{\left(x \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{4} - \frac{1}{4 \left(x - 2\right)} - \frac{1}{4 x}

  2. Ahora simplificar:

    x(x−2)(log⁡(x)−log⁡(x−2))−2x+24x(x−2)\frac{x \left(x - 2\right) \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x - 2 \right)}\right) - 2 x + 2}{4 x \left(x - 2\right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(x−2)(log⁡(x)−log⁡(x−2))−2x+24x(x−2)+constant\frac{x \left(x - 2\right) \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x - 2 \right)}\right) - 2 x + 2}{4 x \left(x - 2\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(x−2)(log⁡(x)−log⁡(x−2))−2x+24x(x−2)+constant\frac{x \left(x - 2\right) \left(\log{\left(x \right)} - \log{\left(x - 2 \right)}\right) - 2 x + 2}{4 x \left(x - 2\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                                                             
 |      1                1        1        log(-2 + x)   log(x)
 | ----------- dx = C - --- - ---------- - ----------- + ------
 |           2          4*x   4*(-2 + x)        4          4   
 | / 2      \                                                  
 | \x  - 2*x/                                                  
 |                                                             
/
∫1(x2−2x)2 dx=C+log⁡(x)4−log⁡(x−2)4−14(x−2)−14x\int \frac{1}{\left(x^{2} - 2 x\right)^{2}}\, dx = C + \frac{\log{\left(x \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{4} - \frac{1}{4 \left(x - 2\right)} - \frac{1}{4 x}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900100000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     pi*I
oo - ----
      4
∞−iπ4\infty - \frac{i \pi}{4} 
=
= 
     pi*I
oo - ----
      4
∞−iπ4\infty - \frac{i \pi}{4} 
oo - pi*i/4
Respuesta numérica [src] 
3.44830919487149e+18
3.44830919487149e+18

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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