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Resolución de integrales/ sin^4/ sin^4(Pix/l)

Integral de sin^4(Pix/l) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  l              
  /              
 |               
 |     4/pi*x\   
 |  sin |----| dx
 |      \ l  /   
 |               
/                
0
∫0lsin⁡4(πxl) dx\int\limits_{0}^{l} \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{l} \right)}\, dx 
Integral(sin((pi*x)/l)^4, (x, 0, l))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡4(πxl)=(12−cos⁡(2πxl)2)2\sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{l} \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2}\right)^{2}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(2πxl)2)2=cos⁡2(2πxl)4−cos⁡(2πxl)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(2πxl)4 dx=∫cos⁡2(2πxl) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(2πxl)=cos⁡(4πxl)2+12\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(4πxl)2 dx=∫cos⁡(4πxl) dx2\int \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}\, dx}{2}

            1. que u=4πxlu = \frac{4 \pi x}{l}.

              Luego que du=4πdxldu = \frac{4 \pi dx}{l} y ponemos dul4π\frac{du l}{4 \pi}:

              ∫lcos⁡(u)4π du\int \frac{l \cos{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=l∫cos⁡(u) du4π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{l \int \cos{\left(u \right)}\, du}{4 \pi}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: lsin⁡(u)4π\frac{l \sin{\left(u \right)}}{4 \pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              lsin⁡(4πxl)4π\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi}

            Por lo tanto, el resultado es: lsin⁡(4πxl)8π\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{8 \pi}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: lsin⁡(4πxl)8π+x2\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{8 \pi} + \frac{x}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: lsin⁡(4πxl)32π+x8\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{32 \pi} + \frac{x}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2πxl)2) dx=−∫cos⁡(2πxl) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}\, dx}{2}

        1. que u=2πxlu = \frac{2 \pi x}{l}.

          Luego que du=2πdxldu = \frac{2 \pi dx}{l} y ponemos dul2π\frac{du l}{2 \pi}:

          ∫lcos⁡(u)2π du\int \frac{l \cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=l∫cos⁡(u) du2π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{l \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: lsin⁡(u)2π\frac{l \sin{\left(u \right)}}{2 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          lsin⁡(2πxl)2π\frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2 \pi}

        Por lo tanto, el resultado es: −lsin⁡(2πxl)4π- \frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: −lsin⁡(2πxl)4π+lsin⁡(4πxl)32π+3x8- \frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi} + \frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{32 \pi} + \frac{3 x}{8}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (12−cos⁡(2πxl)2)2=cos⁡2(2πxl)4−cos⁡(2πxl)2+14\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(2πxl)4 dx=∫cos⁡2(2πxl) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(2πxl)=cos⁡(4πxl)2+12\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(4πxl)2 dx=∫cos⁡(4πxl) dx2\int \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}\, dx}{2}

            1. que u=4πxlu = \frac{4 \pi x}{l}.

              Luego que du=4πdxldu = \frac{4 \pi dx}{l} y ponemos dul4π\frac{du l}{4 \pi}:

              ∫lcos⁡(u)4π du\int \frac{l \cos{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=l∫cos⁡(u) du4π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{l \int \cos{\left(u \right)}\, du}{4 \pi}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: lsin⁡(u)4π\frac{l \sin{\left(u \right)}}{4 \pi}

              Si ahora sustituir uu más en:

              lsin⁡(4πxl)4π\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi}

            Por lo tanto, el resultado es: lsin⁡(4πxl)8π\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{8 \pi}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: lsin⁡(4πxl)8π+x2\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{8 \pi} + \frac{x}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: lsin⁡(4πxl)32π+x8\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{32 \pi} + \frac{x}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2πxl)2) dx=−∫cos⁡(2πxl) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}\, dx}{2}

        1. que u=2πxlu = \frac{2 \pi x}{l}.

          Luego que du=2πdxldu = \frac{2 \pi dx}{l} y ponemos dul2π\frac{du l}{2 \pi}:

          ∫lcos⁡(u)2π du\int \frac{l \cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=l∫cos⁡(u) du2π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{l \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: lsin⁡(u)2π\frac{l \sin{\left(u \right)}}{2 \pi}

          Si ahora sustituir uu más en:

          lsin⁡(2πxl)2π\frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2 \pi}

        Por lo tanto, el resultado es: −lsin⁡(2πxl)4π- \frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: −lsin⁡(2πxl)4π+lsin⁡(4πxl)32π+3x8- \frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi} + \frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{32 \pi} + \frac{3 x}{8}

  3. Ahora simplificar:

    −8lsin⁡(2πxl)+lsin⁡(4πxl)+12πx32π\frac{- 8 l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)} + l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)} + 12 \pi x}{32 \pi}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −8lsin⁡(2πxl)+lsin⁡(4πxl)+12πx32π+constant\frac{- 8 l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)} + l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)} + 12 \pi x}{32 \pi}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−8lsin⁡(2πxl)+lsin⁡(4πxl)+12πx32π+constant\frac{- 8 l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)} + l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)} + 12 \pi x}{32 \pi}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                               /2*pi*x\        /4*pi*x\
 |                           l*sin|------|   l*sin|------|
 |    4/pi*x\          3*x        \  l   /        \  l   /
 | sin |----| dx = C + --- - ------------- + -------------
 |     \ l  /           8         4*pi           32*pi    
 |                                                        
/
∫sin⁡4(πxl) dx=C−lsin⁡(2πxl)4π+lsin⁡(4πxl)32π+3x8\int \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{l} \right)}\, dx = C - \frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi} + \frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{32 \pi} + \frac{3 x}{8}
Simplificar
Respuesta [src] 
/3*l                                  
|---  for And(l > -oo, l < oo, l != 0)
< 8                                   
|                                     
\ 0              otherwise
{3l8for l>−∞∧l<∞∧l≠00otherwise\begin{cases} \frac{3 l}{8} & \text{for}\: l > -\infty \wedge l < \infty \wedge l \neq 0 \\0 & \text{otherwise} \end{cases} 
=
= 
/3*l                                  
|---  for And(l > -oo, l < oo, l != 0)
< 8                                   
|                                     
\ 0              otherwise
{3l8for l>−∞∧l<∞∧l≠00otherwise\begin{cases} \frac{3 l}{8} & \text{for}\: l > -\infty \wedge l < \infty \wedge l \neq 0 \\0 & \text{otherwise} \end{cases} 
Piecewise((3*l/8, (l > -oo)∧(l < oo)∧(Ne(l, 0))), (0, True))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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