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¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de 1/(y+y^3)
Integral de 1/4x+3
Integral de (1-2*x)*exp(-2*x)
Integral de (1-2*x)/x^2
Expresiones idénticas
sin^ cuatro (Pix/l)
seno de en el grado 4(Pix dividir por l)
seno de en el grado cuatro (Pix dividir por l)
sin4(Pix/l)
sin4Pix/l
sin⁴(Pix/l)
sin^4Pix/l
sin^4(Pix dividir por l)
sin^4(Pix/l)dx
Expresiones con funciones
Seno sin
sin(x)e^x
sin(x)*dx/(cos(x)+1)
sin(xdx)/cbrt(3+2*cos(x))
sin(x)*dx/(2+sin(x))
sin(x)cos(x)/(sin(x)+cos(x))dx

Resolución de integrales/ sin^4/ sin^4(Pix/l)

Integral de sin^4(Pix/l) dx

Solución

Ha introducido [src]

  l              
  /              
 |               
 |     4/pi*x\   
 |  sin |----| dx
 |      \ l  /   
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{l} \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{l} \right)}\, dx$$

Integral(sin((pi*x)/l)^4, (x, 0, l))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{l} \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2}\right)^{2}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}\, dx}{4}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = \frac{4 \pi x}{l}$ .
      
      Luego que $du = \frac{4 \pi dx}{l}$ y ponemos $\frac{du l}{4 \pi}$ :
      
      $\int \frac{l \cos{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{l \int \cos{\left(u \right)}\, du}{4 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{l \sin{\left(u \right)}}{4 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{8 \pi}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{8 \pi} + \frac{x}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{32 \pi} + \frac{x}{8}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}\, dx}{2}$
    1. que $u = \frac{2 \pi x}{l}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \pi dx}{l}$ y ponemos $\frac{du l}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{l \cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{l \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{l \sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2 \pi}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
  El resultado es: $- \frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi} + \frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{32 \pi} + \frac{3 x}{8}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}\, dx}{4}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = \frac{4 \pi x}{l}$ .
      
      Luego que $du = \frac{4 \pi dx}{l}$ y ponemos $\frac{du l}{4 \pi}$ :
      
      $\int \frac{l \cos{\left(u \right)}}{4 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{l \int \cos{\left(u \right)}\, du}{4 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{l \sin{\left(u \right)}}{4 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{8 \pi}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{8 \pi} + \frac{x}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{32 \pi} + \frac{x}{8}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}\, dx}{2}$
    1. que $u = \frac{2 \pi x}{l}$ .
      
      Luego que $du = \frac{2 \pi dx}{l}$ y ponemos $\frac{du l}{2 \pi}$ :
      
      $\int \frac{l \cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{l \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{l \sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2 \pi}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
  El resultado es: $- \frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi} + \frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{32 \pi} + \frac{3 x}{8}$
Ahora simplificar:

$\frac{- 8 l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)} + l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)} + 12 \pi x}{32 \pi}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{- 8 l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)} + l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)} + 12 \pi x}{32 \pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{- 8 l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)} + l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)} + 12 \pi x}{32 \pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                               /2*pi*x\        /4*pi*x\
 |                           l*sin|------|   l*sin|------|
 |    4/pi*x\          3*x        \  l   /        \  l   /
 | sin |----| dx = C + --- - ------------- + -------------
 |     \ l  /           8         4*pi           32*pi    
 |                                                        
/

$$\int \sin^{4}{\left(\frac{\pi x}{l} \right)}\, dx = C - \frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi} + \frac{l \sin{\left(\frac{4 \pi x}{l} \right)}}{32 \pi} + \frac{3 x}{8}$$

Simplificar

Respuesta [src]

/3*l                                  
|---  for And(l > -oo, l < oo, l != 0)
< 8                                   
|                                     
\ 0              otherwise

$$\begin{cases} \frac{3 l}{8} & \text{for}\: l > -\infty \wedge l < \infty \wedge l \neq 0 \\0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

/3*l                                  
|---  for And(l > -oo, l < oo, l != 0)
< 8                                   
|                                     
\ 0              otherwise

$$\begin{cases} \frac{3 l}{8} & \text{for}\: l > -\infty \wedge l < \infty \wedge l \neq 0 \\0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Piecewise((3*l/8, (l > -oo)∧(l < oo)∧(Ne(l, 0))), (0, True))

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de sin^4(Pix/l) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2