Sr Examen

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Resolución de integrales/ (-x-1)/ e^(x*t)*e^(-x-1)

Integral de e^(x*t)*e^(-x-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                
  /                
 |                 
 |   x*t  -x - 1   
 |  E   *E       dx
 |                 
/                  
-1
∫−1∞etxe−x−1 dx\int\limits_{-1}^{\infty} e^{t x} e^{- x - 1}\, dx 
Integral(E^(x*t)*E^(-x - 1), (x, -1, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      etxe−x−1=e−xetxee^{t x} e^{- x - 1} = \frac{e^{- x} e^{t x}}{e}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫e−xetxe dx=∫e−xetx dxe\int \frac{e^{- x} e^{t x}}{e}\, dx = \frac{\int e^{- x} e^{t x}\, dx}{e}

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        {etxtex−exfor t≠1xotherwese\begin{cases} \frac{e^{t x}}{t e^{x} - e^{x}} & \text{for}\: t \neq 1 \\x & \text{otherwese} \end{cases}

      Por lo tanto, el resultado es: {etxtex−exfor t≠1xotherwesee\frac{\begin{cases} \frac{e^{t x}}{t e^{x} - e^{x}} & \text{for}\: t \neq 1 \\x & \text{otherwese} \end{cases}}{e}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      etxe−x−1=e−xetxee^{t x} e^{- x - 1} = \frac{e^{- x} e^{t x}}{e}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫e−xetxe dx=∫e−xetx dxe\int \frac{e^{- x} e^{t x}}{e}\, dx = \frac{\int e^{- x} e^{t x}\, dx}{e}

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        {etxtex−exfor t≠1xotherwese\begin{cases} \frac{e^{t x}}{t e^{x} - e^{x}} & \text{for}\: t \neq 1 \\x & \text{otherwese} \end{cases}

      Por lo tanto, el resultado es: {etxtex−exfor t≠1xotherwesee\frac{\begin{cases} \frac{e^{t x}}{t e^{x} - e^{x}} & \text{for}\: t \neq 1 \\x & \text{otherwese} \end{cases}}{e}

  2. Ahora simplificar:

    {ex(t−1)−1t−1for t≠1xeotherwese\begin{cases} \frac{e^{x \left(t - 1\right) - 1}}{t - 1} & \text{for}\: t \neq 1 \\\frac{x}{e} & \text{otherwese} \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {ex(t−1)−1t−1for t≠1xeotherwese+constant\begin{cases} \frac{e^{x \left(t - 1\right) - 1}}{t - 1} & \text{for}\: t \neq 1 \\\frac{x}{e} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{ex(t−1)−1t−1for t≠1xeotherwese+constant\begin{cases} \frac{e^{x \left(t - 1\right) - 1}}{t - 1} & \text{for}\: t \neq 1 \\\frac{x}{e} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                      //     t*x               \    
 |                       ||    e                  |    
 |  x*t  -x - 1          ||-----------  for t != 1|  -1
 | E   *E       dx = C + |<   x      x            |*e  
 |                       ||- e  + t*e             |    
/                        ||                       |    
                         \\     x       otherwise /
∫etxe−x−1 dx=C+{etxtex−exfor t≠1xotherwisee\int e^{t x} e^{- x - 1}\, dx = C + \frac{\begin{cases} \frac{e^{t x}}{t e^{x} - e^{x}} & \text{for}\: t \neq 1 \\x & \text{otherwise} \end{cases}}{e}
Simplificar
Respuesta [src] 
/         -t                                 
|        e                                 pi
|       -----         for |pi + arg(t)| <= --
|       1 - t                              2 
|                                            
| oo                                         
<  /                                         
| |                                          
| |   t*x  -1 - x                            
| |  e   *e       dx         otherwise       
| |                                          
|/                                           
\-1
{e−t1−tfor ∣arg⁡(t)+π∣≤π2∫−1∞etxe−x−1 dxotherwise\begin{cases} \frac{e^{- t}}{1 - t} & \text{for}\: \left|{\arg{\left(t \right)} + \pi}\right| \leq \frac{\pi}{2} \\\int\limits_{-1}^{\infty} e^{t x} e^{- x - 1}\, dx & \text{otherwise} \end{cases} 
=
= 
/         -t                                 
|        e                                 pi
|       -----         for |pi + arg(t)| <= --
|       1 - t                              2 
|                                            
| oo                                         
<  /                                         
| |                                          
| |   t*x  -1 - x                            
| |  e   *e       dx         otherwise       
| |                                          
|/                                           
\-1
{e−t1−tfor ∣arg⁡(t)+π∣≤π2∫−1∞etxe−x−1 dxotherwise\begin{cases} \frac{e^{- t}}{1 - t} & \text{for}\: \left|{\arg{\left(t \right)} + \pi}\right| \leq \frac{\pi}{2} \\\int\limits_{-1}^{\infty} e^{t x} e^{- x - 1}\, dx & \text{otherwise} \end{cases} 
Piecewise((exp(-t)/(1 - t), Abs(pi + arg(t)) <= pi/2), (Integral(exp(t*x)*exp(-1 - x), (x, -1, oo)), True))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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