Integral de log(x,8) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(8 \right)}}\, dx = \frac{\int \log{\left(x \right)}\, dx}{\log{\left(8 \right)}}$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x \log{\left(x \right)} - x}{\log{\left(8 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{\log{\left(8 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{\log{\left(8 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)}{\log{\left(8 \right)}}+ \mathrm{constant}$