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Resolución de integrales/ sin^2/ sin^2(πx/l)

Integral de sin^2(πx/l) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |     2/pi*x\   
 |  sin |----| dx
 |      \ l  /   
 |               
/                
0
∫01sin⁡2(πxl) dx\int\limits_{0}^{1} \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{l} \right)}\, dx 
Integral(sin((pi*x)/l)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡2(πxl)=12−cos⁡(2πxl)2\sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{l} \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡(2πxl)2) dx=−∫cos⁡(2πxl) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}\, dx}{2}

      1. que u=2πxlu = \frac{2 \pi x}{l}.

        Luego que du=2πdxldu = \frac{2 \pi dx}{l} y ponemos dul2π\frac{du l}{2 \pi}:

        ∫lcos⁡(u)2π du\int \frac{l \cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=l∫cos⁡(u) du2π\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{l \int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: lsin⁡(u)2π\frac{l \sin{\left(u \right)}}{2 \pi}

        Si ahora sustituir uu más en:

        lsin⁡(2πxl)2π\frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{2 \pi}

      Por lo tanto, el resultado es: −lsin⁡(2πxl)4π- \frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi}

    El resultado es: −lsin⁡(2πxl)4π+x2- \frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi} + \frac{x}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −lsin⁡(2πxl)4π+x2+constant- \frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi} + \frac{x}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−lsin⁡(2πxl)4π+x2+constant- \frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi} + \frac{x}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                             /2*pi*x\
 |                         l*sin|------|
 |    2/pi*x\          x        \  l   /
 | sin |----| dx = C + - - -------------
 |     \ l  /          2        4*pi    
 |                                      
/
∫sin⁡2(πxl) dx=C−lsin⁡(2πxl)4π+x2\int \sin^{2}{\left(\frac{\pi x}{l} \right)}\, dx = C - \frac{l \sin{\left(\frac{2 \pi x}{l} \right)}}{4 \pi} + \frac{x}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
/  /         /pi\    /pi\\                                  
|  |      cos|--|*sin|--||                                  
|  | pi      \l /    \l /|                                  
|l*|--- - ---------------|                                  
<  \2*l          2       /                                  
|-------------------------  for And(l > -oo, l < oo, l != 0)
|            pi                                             
|                                                           
\            0                         otherwise
{l(−sin⁡(πl)cos⁡(πl)2+π2l)πfor l>−∞∧l<∞∧l≠00otherwise\begin{cases} \frac{l \left(- \frac{\sin{\left(\frac{\pi}{l} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{l} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2 l}\right)}{\pi} & \text{for}\: l > -\infty \wedge l < \infty \wedge l \neq 0 \\0 & \text{otherwise} \end{cases} 
=
= 
/  /         /pi\    /pi\\                                  
|  |      cos|--|*sin|--||                                  
|  | pi      \l /    \l /|                                  
|l*|--- - ---------------|                                  
<  \2*l          2       /                                  
|-------------------------  for And(l > -oo, l < oo, l != 0)
|            pi                                             
|                                                           
\            0                         otherwise
{l(−sin⁡(πl)cos⁡(πl)2+π2l)πfor l>−∞∧l<∞∧l≠00otherwise\begin{cases} \frac{l \left(- \frac{\sin{\left(\frac{\pi}{l} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{l} \right)}}{2} + \frac{\pi}{2 l}\right)}{\pi} & \text{for}\: l > -\infty \wedge l < \infty \wedge l \neq 0 \\0 & \text{otherwise} \end{cases} 
Piecewise((l*(pi/(2*l) - cos(pi/l)*sin(pi/l)/2)/pi, (l > -oo)∧(l < oo)∧(Ne(l, 0))), (0, True))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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