Integral de (x^2-4x+2)/(x+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 2}{x + 1} = x - 5 + \frac{7}{x + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-5\right)\, dx = - 5 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{7}{x + 1}\, dx = 7 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $7 \log{\left(x + 1 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - 5 x + 7 \log{\left(x + 1 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 2}{x + 1} = \frac{x^{2}}{x + 1} - \frac{4 x}{x + 1} + \frac{2}{x + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left(x + 1 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4 x}{x + 1}\right)\, dx = - 4 \int \frac{x}{x + 1}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

               1. que $u = x + 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x + 1 \right)}$

            El resultado es: $x - \log{\left(x + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x + 4 \log{\left(x + 1 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{x + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x + 1 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - 5 x + 5 \log{\left(x + 1 \right)} + 2 \log{\left(x + 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2}}{2} - 5 x + 7 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2}}{2} - 5 x + 7 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$