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Resolución de integrales/ (4-x)/ 16-x^2/ (x*(4-x))/√(16-x^2)

Integral de (x*(4-x))/√(16-x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |   x*(4 - x)     
 |  ------------ dx
 |     _________   
 |    /       2    
 |  \/  16 - x     
 |                 
/                  
0
∫01x(4−x)16−x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x \left(4 - x\right)}{\sqrt{16 - x^{2}}}\, dx 
Integral((x*(4 - x))/sqrt(16 - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫u2+4u16−u2 du\int \frac{u^{2} + 4 u}{\sqrt{16 - u^{2}}}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u2+4u16−u2=u216−u2+4u16−u2\frac{u^{2} + 4 u}{\sqrt{16 - u^{2}}} = \frac{u^{2}}{\sqrt{16 - u^{2}}} + \frac{4 u}{\sqrt{16 - u^{2}}}

      2. Integramos término a término:

          TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=4*sin(_theta), rewritten=16*sin(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=16, other=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=1/2 - cos(2*_theta)/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta)], context=1/2 - cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), context=16*sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(_u > -4) & (_u < 4), context=_u**2/sqrt(16 - _u**2), symbol=_u)

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4u16−u2 du=4∫u16−u2 du\int \frac{4 u}{\sqrt{16 - u^{2}}}\, du = 4 \int \frac{u}{\sqrt{16 - u^{2}}}\, du

          1. que u=16−u2u = 16 - u^{2}.

            Luego que du=−2ududu = - 2 u du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

            ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=−∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −u- \sqrt{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −16−u2- \sqrt{16 - u^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: −416−u2- 4 \sqrt{16 - u^{2}}

        El resultado es: −416−u2+{−u16−u22+8asin⁡(u4)for u>−4∧u<4- 4 \sqrt{16 - u^{2}} + \begin{cases} - \frac{u \sqrt{16 - u^{2}}}{2} + 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)} & \text{for}\: u > -4 \wedge u < 4 \end{cases}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −416−x2+{x16−x22−8asin⁡(x4)for x>−4∧x<4- 4 \sqrt{16 - x^{2}} + \begin{cases} \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} - 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(4−x)16−x2=−x2−4x16−x2\frac{x \left(4 - x\right)}{\sqrt{16 - x^{2}}} = - \frac{x^{2} - 4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x2−4x16−x2) dx=−∫x2−4x16−x2 dx\int \left(- \frac{x^{2} - 4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2} - 4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2−4x16−x2=x216−x2−4x16−x2\frac{x^{2} - 4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}} - \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}

      2. Integramos término a término:

          TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=4*sin(_theta), rewritten=16*sin(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=16, other=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=1/2 - cos(2*_theta)/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta)], context=1/2 - cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), context=16*sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -4) & (x < 4), context=x**2/sqrt(16 - x**2), symbol=x)

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4x16−x2) dx=−4∫x16−x2 dx\int \left(- \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\right)\, dx = - 4 \int \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\, dx

          1. que u=16−x2u = 16 - x^{2}.

            Luego que du=−2xdxdu = - 2 x dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

            ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=−∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −u- \sqrt{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −16−x2- \sqrt{16 - x^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: 416−x24 \sqrt{16 - x^{2}}

        El resultado es: 416−x2+{−x16−x22+8asin⁡(x4)for x>−4∧x<44 \sqrt{16 - x^{2}} + \begin{cases} - \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} + 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}

      Por lo tanto, el resultado es: −416−x2−{−x16−x22+8asin⁡(x4)for x>−4∧x<4- 4 \sqrt{16 - x^{2}} - \begin{cases} - \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} + 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(4−x)16−x2=−x216−x2+4x16−x2\frac{x \left(4 - x\right)}{\sqrt{16 - x^{2}}} = - \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}} + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x216−x2) dx=−∫x216−x2 dx\int \left(- \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}\, dx

          TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=4*sin(_theta), rewritten=16*sin(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=16, other=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=1/2 - cos(2*_theta)/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta)], context=1/2 - cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), context=16*sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -4) & (x < 4), context=x**2/sqrt(16 - x**2), symbol=x)

        Por lo tanto, el resultado es: −{−x16−x22+8asin⁡(x4)for x>−4∧x<4- \begin{cases} - \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} + 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x16−x2 dx=4∫x16−x2 dx\int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\, dx = 4 \int \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\, dx

        1. que u=16−x2u = 16 - x^{2}.

          Luego que du=−2xdxdu = - 2 x dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −u- \sqrt{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −16−x2- \sqrt{16 - x^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: −416−x2- 4 \sqrt{16 - x^{2}}

      El resultado es: −416−x2−{−x16−x22+8asin⁡(x4)for x>−4∧x<4- 4 \sqrt{16 - x^{2}} - \begin{cases} - \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} + 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}

  2. Ahora simplificar:

    {x16−x22−416−x2−8asin⁡(x4)for x>−4∧x<4\begin{cases} \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} - 4 \sqrt{16 - x^{2}} - 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {x16−x22−416−x2−8asin⁡(x4)for x>−4∧x<4+constant\begin{cases} \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} - 4 \sqrt{16 - x^{2}} - 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{x16−x22−416−x2−8asin⁡(x4)for x>−4∧x<4+constant\begin{cases} \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} - 4 \sqrt{16 - x^{2}} - 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                              
 |                            _________   //                   _________                        \
 |  x*(4 - x)                /       2    ||                  /       2                         |
 | ------------ dx = C - 4*\/  16 - x   + |<        /x\   x*\/  16 - x                          |
 |    _________                           ||- 8*asin|-| + --------------  for And(x > -4, x < 4)|
 |   /       2                            \\        \4/         2                               /
 | \/  16 - x                                                                                    
 |                                                                                               
/
∫x(4−x)16−x2 dx=C−416−x2+{x16−x22−8asin⁡(x4)for x>−4∧x<4\int \frac{x \left(4 - x\right)}{\sqrt{16 - x^{2}}}\, dx = C - 4 \sqrt{16 - x^{2}} + \begin{cases} \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} - 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                       ____
                   7*\/ 15 
16 - 8*asin(1/4) - --------
                      2
−7152−8asin⁡(14)+16- \frac{7 \sqrt{15}}{2} - 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} + 16 
=
= 
                       ____
                   7*\/ 15 
16 - 8*asin(1/4) - --------
                      2
−7152−8asin⁡(14)+16- \frac{7 \sqrt{15}}{2} - 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{4} \right)} + 16 
16 - 8*asin(1/4) - 7*sqrt(15)/2
Respuesta numérica [src] 
0.423116247137412
0.423116247137412

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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