Integral de (x*(4-x))/√(16-x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u^{2} + 4 u}{\sqrt{16 - u^{2}}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u^{2} + 4 u}{\sqrt{16 - u^{2}}} = \frac{u^{2}}{\sqrt{16 - u^{2}}} + \frac{4 u}{\sqrt{16 - u^{2}}}$

      2. Integramos término a término:

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=4*sin(_theta), rewritten=16*sin(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=16, other=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=1/2 - cos(2*_theta)/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta)], context=1/2 - cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), context=16*sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(_u > -4) & (_u < 4), context=_u**2/sqrt(16 - _u**2), symbol=_u)

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4 u}{\sqrt{16 - u^{2}}}\, du = 4 \int \frac{u}{\sqrt{16 - u^{2}}}\, du$

            1. que $u = 16 - u^{2}$.

               Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \sqrt{16 - u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \sqrt{16 - u^{2}}$

         El resultado es: $- 4 \sqrt{16 - u^{2}} + \begin{cases} - \frac{u \sqrt{16 - u^{2}}}{2} + 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)} & \text{for}\: u > -4 \wedge u < 4 \end{cases}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 4 \sqrt{16 - x^{2}} + \begin{cases} \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} - 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x \left(4 - x\right)}{\sqrt{16 - x^{2}}} = - \frac{x^{2} - 4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{2} - 4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2} - 4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2} - 4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}} - \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

      2. Integramos término a término:

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=4*sin(_theta), rewritten=16*sin(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=16, other=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=1/2 - cos(2*_theta)/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta)], context=1/2 - cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), context=16*sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -4) & (x < 4), context=x**2/sqrt(16 - x**2), symbol=x)

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\right)\, dx = - 4 \int \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\, dx$

            1. que $u = 16 - x^{2}$.

               Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \sqrt{16 - x^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4 \sqrt{16 - x^{2}}$

         El resultado es: $4 \sqrt{16 - x^{2}} + \begin{cases} - \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} + 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \sqrt{16 - x^{2}} - \begin{cases} - \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} + 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x \left(4 - x\right)}{\sqrt{16 - x^{2}}} = - \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}} + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}\, dx$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=4*sin(_theta), rewritten=16*sin(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=16, other=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=1/2 - cos(2*_theta)/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta)], context=1/2 - cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), context=16*sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -4) & (x < 4), context=x**2/sqrt(16 - x**2), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} + 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\, dx = 4 \int \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}\, dx$

         1. que $u = 16 - x^{2}$.

            Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \sqrt{16 - x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \sqrt{16 - x^{2}}$

      El resultado es: $- 4 \sqrt{16 - x^{2}} - \begin{cases} - \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} + 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} - 4 \sqrt{16 - x^{2}} - 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} - 4 \sqrt{16 - x^{2}} - 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{x \sqrt{16 - x^{2}}}{2} - 4 \sqrt{16 - x^{2}} - 8 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{4} \right)} & \text{for}\: x > -4 \wedge x < 4 \end{cases}+ \mathrm{constant}$