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Resolución de integrales/ arctg/ (x^4)/ ctg2x/ arctg2x-(3/(x^4))arctg2x

Integral de arctg2x-(3/(x^4))arctg2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                              
  /                              
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 |  /            3           \   
 |  |atan(2*x) - --*atan(2*x)| dx
 |  |             4          |   
 |  \            x           /   
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0
∫01(−3x4atan⁡(2x)+atan⁡(2x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(- \frac{3}{x^{4}} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\right)\, dx 
Integral(atan(2*x) - 3/x^4*atan(2*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−3x4atan⁡(2x)) dx=−∫3atan⁡(2x)x4 dx\int \left(- \frac{3}{x^{4}} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - \int \frac{3 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{4}}\, dx

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3atan⁡(2x)x4 dx=3∫atan⁡(2x)x4 dx\int \frac{3 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{4}}\, dx = 3 \int \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{4}}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=atan⁡(2x)u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} y que dv⁡(x)=1x4\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{4}}.

          Entonces du⁡(x)=24x2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{4 x^{2} + 1}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1x4 dx=−13x3\int \frac{1}{x^{4}}\, dx = - \frac{1}{3 x^{3}}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−23x3(4x2+1)) dx=−2∫1x3(4x2+1) dx3\int \left(- \frac{2}{3 x^{3} \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{2 \int \frac{1}{x^{3} \left(4 x^{2} + 1\right)}\, dx}{3}

          1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que u=x2u = x^{2}.

              Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

              ∫18u3+2u2 du\int \frac{1}{8 u^{3} + 2 u^{2}}\, du

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                18u3+2u2=84u+1−2u+12u2\frac{1}{8 u^{3} + 2 u^{2}} = \frac{8}{4 u + 1} - \frac{2}{u} + \frac{1}{2 u^{2}}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫84u+1 du=8∫14u+1 du\int \frac{8}{4 u + 1}\, du = 8 \int \frac{1}{4 u + 1}\, du

                  1. que u=4u+1u = 4 u + 1.

                    Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

                    ∫14u du\int \frac{1}{4 u}\, du

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫1u du=∫1u du4\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}

                      1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)4\frac{\log{\left(u \right)}}{4}

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    log⁡(4u+1)4\frac{\log{\left(4 u + 1 \right)}}{4}

                  Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(4u+1)2 \log{\left(4 u + 1 \right)}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−2u) du=−2∫1u du\int \left(- \frac{2}{u}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(u)- 2 \log{\left(u \right)}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫12u2 du=∫1u2 du2\int \frac{1}{2 u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{2}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: −12u- \frac{1}{2 u}

                El resultado es: −2log⁡(u)+2log⁡(4u+1)−12u- 2 \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(4 u + 1 \right)} - \frac{1}{2 u}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −2log⁡(x2)+2log⁡(4x2+1)−12x2- 2 \log{\left(x^{2} \right)} + 2 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)} - \frac{1}{2 x^{2}}

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              1x3(4x2+1)=16x4x2+1−4x+1x3\frac{1}{x^{3} \left(4 x^{2} + 1\right)} = \frac{16 x}{4 x^{2} + 1} - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{3}}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫16x4x2+1 dx=16∫x4x2+1 dx\int \frac{16 x}{4 x^{2} + 1}\, dx = 16 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫x4x2+1 dx=∫8x4x2+1 dx8\int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{8 x}{4 x^{2} + 1}\, dx}{8}

                  1. que u=4x2+1u = 4 x^{2} + 1.

                    Luego que du=8xdxdu = 8 x dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

                    ∫18u du\int \frac{1}{8 u}\, du

                    1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    log⁡(4x2+1)\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: log⁡(4x2+1)8\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8}

                Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(4x2+1)2 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−4x) dx=−4∫1x dx\int \left(- \frac{4}{x}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x}\, dx

                1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: −4log⁡(x)- 4 \log{\left(x \right)}

              1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1x3 dx=−12x2\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}

              El resultado es: −4log⁡(x)+2log⁡(4x2+1)−12x2- 4 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)} - \frac{1}{2 x^{2}}

            Método #3

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              1x3(4x2+1)=14x5+x3\frac{1}{x^{3} \left(4 x^{2} + 1\right)} = \frac{1}{4 x^{5} + x^{3}}

            2. Vuelva a escribir el integrando:

              14x5+x3=16x4x2+1−4x+1x3\frac{1}{4 x^{5} + x^{3}} = \frac{16 x}{4 x^{2} + 1} - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{3}}

            3. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫16x4x2+1 dx=16∫x4x2+1 dx\int \frac{16 x}{4 x^{2} + 1}\, dx = 16 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫x4x2+1 dx=∫8x4x2+1 dx8\int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{8 x}{4 x^{2} + 1}\, dx}{8}

                  1. que u=4x2+1u = 4 x^{2} + 1.

                    Luego que du=8xdxdu = 8 x dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

                    ∫18u du\int \frac{1}{8 u}\, du

                    1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    log⁡(4x2+1)\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: log⁡(4x2+1)8\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8}

                Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(4x2+1)2 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−4x) dx=−4∫1x dx\int \left(- \frac{4}{x}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x}\, dx

                1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: −4log⁡(x)- 4 \log{\left(x \right)}

              1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1x3 dx=−12x2\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}

              El resultado es: −4log⁡(x)+2log⁡(4x2+1)−12x2- 4 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)} - \frac{1}{2 x^{2}}

            Método #4

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              1x3(4x2+1)=14x5+x3\frac{1}{x^{3} \left(4 x^{2} + 1\right)} = \frac{1}{4 x^{5} + x^{3}}

            2. Vuelva a escribir el integrando:

              14x5+x3=16x4x2+1−4x+1x3\frac{1}{4 x^{5} + x^{3}} = \frac{16 x}{4 x^{2} + 1} - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{3}}

            3. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫16x4x2+1 dx=16∫x4x2+1 dx\int \frac{16 x}{4 x^{2} + 1}\, dx = 16 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫x4x2+1 dx=∫8x4x2+1 dx8\int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{8 x}{4 x^{2} + 1}\, dx}{8}

                  1. que u=4x2+1u = 4 x^{2} + 1.

                    Luego que du=8xdxdu = 8 x dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

                    ∫18u du\int \frac{1}{8 u}\, du

                    1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                    Si ahora sustituir uu más en:

                    log⁡(4x2+1)\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: log⁡(4x2+1)8\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8}

                Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(4x2+1)2 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−4x) dx=−4∫1x dx\int \left(- \frac{4}{x}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x}\, dx

                1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: −4log⁡(x)- 4 \log{\left(x \right)}

              1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1x3 dx=−12x2\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}

              El resultado es: −4log⁡(x)+2log⁡(4x2+1)−12x2- 4 \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)} - \frac{1}{2 x^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(x2)3−4log⁡(4x2+1)3+13x2\frac{4 \log{\left(x^{2} \right)}}{3} - \frac{4 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{3} + \frac{1}{3 x^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: −4log⁡(x2)+4log⁡(4x2+1)−1x2−atan⁡(2x)x3- 4 \log{\left(x^{2} \right)} + 4 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}

      Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(x2)−4log⁡(4x2+1)+1x2+atan⁡(2x)x34 \log{\left(x^{2} \right)} - 4 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫atan⁡(u)2 du\int \frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫atan⁡(u) du=∫atan⁡(u) du2\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{atan}{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=atan⁡(u)u{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

            Entonces du⁡(u)=1u2+1\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫uu2+1 du=∫2uu2+1 du2\int \frac{u}{u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{2 u}{u^{2} + 1}\, du}{2}

            1. que u=u2+1u = u^{2} + 1.

              Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u2+1)\log{\left(u^{2} + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u2+1)2\frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: uatan⁡(u)2−log⁡(u2+1)4\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} + 1 \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        xatan⁡(2x)−log⁡(4x2+1)4x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=atan⁡(2x)u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

        Entonces du⁡(x)=24x2+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{4 x^{2} + 1}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x4x2+1 dx=2∫x4x2+1 dx\int \frac{2 x}{4 x^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫x4x2+1 dx=∫8x4x2+1 dx8\int \frac{x}{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{\int \frac{8 x}{4 x^{2} + 1}\, dx}{8}

          1. que u=4x2+1u = 4 x^{2} + 1.

            Luego que du=8xdxdu = 8 x dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

            ∫18u du\int \frac{1}{8 u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(4x2+1)\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(4x2+1)8\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(4x2+1)4\frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}

    El resultado es: xatan⁡(2x)+4log⁡(x2)−17log⁡(4x2+1)4+1x2+atan⁡(2x)x3x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + 4 \log{\left(x^{2} \right)} - \frac{17 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    xatan⁡(2x)+4log⁡(x2)−17log⁡(4x2+1)4+1x2+atan⁡(2x)x3+constantx \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + 4 \log{\left(x^{2} \right)} - \frac{17 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xatan⁡(2x)+4log⁡(x2)−17log⁡(4x2+1)4+1x2+atan⁡(2x)x3+constantx \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + 4 \log{\left(x^{2} \right)} - \frac{17 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                               
 |                                                            /       2\                          
 | /            3           \          1         / 2\   17*log\1 + 4*x /                 atan(2*x)
 | |atan(2*x) - --*atan(2*x)| dx = C + -- + 4*log\x / - ---------------- + x*atan(2*x) + ---------
 | |             4          |           2                      4                              3   
 | \            x           /          x                                                     x    
 |                                                                                                
/
∫(−3x4atan⁡(2x)+atan⁡(2x)) dx=C+xatan⁡(2x)+4log⁡(x2)−17log⁡(4x2+1)4+1x2+atan⁡(2x)x3\int \left(- \frac{3}{x^{4}} \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\right)\, dx = C + x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} + 4 \log{\left(x^{2} \right)} - \frac{17 \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}
Simplificar
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-5.49219022742095e+38
-5.49219022742095e+38

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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