Integral de (2-4x)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 - 4 x$.

      Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

      $\int \left(- \frac{u^{3}}{4}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{4}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{16}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(2 - 4 x\right)^{4}}{16}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 - 4 x\right)^{3} = - 64 x^{3} + 96 x^{2} - 48 x + 8$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 64 x^{3}\right)\, dx = - 64 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 16 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 96 x^{2}\, dx = 96 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $32 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 48 x\right)\, dx = - 48 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 24 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 8\, dx = 8 x$

      El resultado es: $- 16 x^{4} + 32 x^{3} - 24 x^{2} + 8 x$

2. Ahora simplificar:

   $- \left(2 x - 1\right)^{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(2 x - 1\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(2 x - 1\right)^{4}+ \mathrm{constant}$