Integral de x^2ln(12x+1) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(12 x + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{12}{12 x + 1}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{4 x^{3}}{12 x + 1}\, dx = 4 \int \frac{x^{3}}{12 x + 1}\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3}}{12 x + 1} = \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{144} + \frac{1}{1728} - \frac{1}{1728 \left(12 x + 1\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{2}}{12}\, dx = \frac{\int x^{2}\, dx}{12}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{36}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x}{144}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{144}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{288}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{1728}\, dx = \frac{x}{1728}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{1728 \left(12 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{12 x + 1}\, dx}{1728}$

         1. que $u = 12 x + 1$.

            Luego que $du = 12 dx$ y ponemos $\frac{du}{12}$:

            $\int \frac{1}{12 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{12}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{12}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(12 x + 1 \right)}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(12 x + 1 \right)}}{20736}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{36} - \frac{x^{2}}{288} + \frac{x}{1728} - \frac{\log{\left(12 x + 1 \right)}}{20736}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{9} - \frac{x^{2}}{72} + \frac{x}{432} - \frac{\log{\left(12 x + 1 \right)}}{5184}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{3} \log{\left(12 x + 1 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + \frac{x^{2}}{72} - \frac{x}{432} + \frac{\log{\left(12 x + 1 \right)}}{5184}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3} \log{\left(12 x + 1 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + \frac{x^{2}}{72} - \frac{x}{432} + \frac{\log{\left(12 x + 1 \right)}}{5184}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \log{\left(12 x + 1 \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + \frac{x^{2}}{72} - \frac{x}{432} + \frac{\log{\left(12 x + 1 \right)}}{5184}+ \mathrm{constant}$