Integral de x^3/(x+1)^(1÷2) dx

1. que $u = \sqrt{x + 1}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 1}}$ y ponemos $2 du$:

   $\int 2 \left(u^{2} - 1\right)^{3}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(u^{2} - 1\right)^{3}\, du = 2 \int \left(u^{2} - 1\right)^{3}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(u^{2} - 1\right)^{3} = u^{6} - 3 u^{4} + 3 u^{2} - 1$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 3 u^{4}\right)\, du = - 3 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u^{2}\, du = 3 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, du = - u$

         El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{3 u^{5}}{5} + u^{3} - u$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{7}}{7} - \frac{6 u^{5}}{5} + 2 u^{3} - 2 u$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{6 \left(x + 1\right)^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}} - 2 \sqrt{x + 1}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \sqrt{x + 1} \left(5 x^{3} - 6 x^{2} + 8 x - 16\right)}{35}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{x + 1} \left(5 x^{3} - 6 x^{2} + 8 x - 16\right)}{35}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{x + 1} \left(5 x^{3} - 6 x^{2} + 8 x - 16\right)}{35}+ \mathrm{constant}$