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Resolución de integrales/ 1/sin/ sin^2/ 1/sin^22x

Integral de 1/sin^22x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi            
 --            
 4             
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |     22      
 |  sin  (x)   
 |             
/              
pi             
--             
8
∫π8π41sin⁡22(x) dx\int\limits_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^{22}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(1/(sin(x)^22), (x, pi/8, pi/4))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    csc⁡22(x)=(cot⁡2(x)+1)10csc⁡2(x)\csc^{22}{\left(x \right)} = \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{10} \csc^{2}{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cot⁡2(x)+1)10csc⁡2(x)=cot⁡20(x)csc⁡2(x)+10cot⁡18(x)csc⁡2(x)+45cot⁡16(x)csc⁡2(x)+120cot⁡14(x)csc⁡2(x)+210cot⁡12(x)csc⁡2(x)+252cot⁡10(x)csc⁡2(x)+210cot⁡8(x)csc⁡2(x)+120cot⁡6(x)csc⁡2(x)+45cot⁡4(x)csc⁡2(x)+10cot⁡2(x)csc⁡2(x)+csc⁡2(x)\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{10} \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{20}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 10 \cot^{18}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 45 \cot^{16}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 120 \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 210 \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 252 \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 210 \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 120 \cot^{6}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 45 \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 10 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \csc^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

        Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u20) du\int \left(- u^{20}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u20 du=−∫u20 du\int u^{20}\, du = - \int u^{20}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u20 du=u2121\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}

          Por lo tanto, el resultado es: −u2121- \frac{u^{21}}{21}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cot⁡21(x)21- \frac{\cot^{21}{\left(x \right)}}{21}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫10cot⁡18(x)csc⁡2(x) dx=10∫cot⁡18(x)csc⁡2(x) dx\int 10 \cot^{18}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \cot^{18}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u18) du\int \left(- u^{18}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u18 du=−∫u18 du\int u^{18}\, du = - \int u^{18}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u18 du=u1919\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1919- \frac{u^{19}}{19}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡19(x)19- \frac{\cot^{19}{\left(x \right)}}{19}

        Por lo tanto, el resultado es: −10cot⁡19(x)19- \frac{10 \cot^{19}{\left(x \right)}}{19}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫45cot⁡16(x)csc⁡2(x) dx=45∫cot⁡16(x)csc⁡2(x) dx\int 45 \cot^{16}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 45 \int \cot^{16}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u16) du\int \left(- u^{16}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u16 du=−∫u16 du\int u^{16}\, du = - \int u^{16}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u16 du=u1717\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1717- \frac{u^{17}}{17}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡17(x)17- \frac{\cot^{17}{\left(x \right)}}{17}

        Por lo tanto, el resultado es: −45cot⁡17(x)17- \frac{45 \cot^{17}{\left(x \right)}}{17}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫120cot⁡14(x)csc⁡2(x) dx=120∫cot⁡14(x)csc⁡2(x) dx\int 120 \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u14) du\int \left(- u^{14}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u14 du=−∫u14 du\int u^{14}\, du = - \int u^{14}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u14 du=u1515\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1515- \frac{u^{15}}{15}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡15(x)15- \frac{\cot^{15}{\left(x \right)}}{15}

        Por lo tanto, el resultado es: −8cot⁡15(x)- 8 \cot^{15}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫210cot⁡12(x)csc⁡2(x) dx=210∫cot⁡12(x)csc⁡2(x) dx\int 210 \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 210 \int \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u12) du\int \left(- u^{12}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u12 du=−∫u12 du\int u^{12}\, du = - \int u^{12}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u12 du=u1313\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1313- \frac{u^{13}}{13}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡13(x)13- \frac{\cot^{13}{\left(x \right)}}{13}

        Por lo tanto, el resultado es: −210cot⁡13(x)13- \frac{210 \cot^{13}{\left(x \right)}}{13}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫252cot⁡10(x)csc⁡2(x) dx=252∫cot⁡10(x)csc⁡2(x) dx\int 252 \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 252 \int \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u10) du\int \left(- u^{10}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u10 du=−∫u10 du\int u^{10}\, du = - \int u^{10}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1111- \frac{u^{11}}{11}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡11(x)11- \frac{\cot^{11}{\left(x \right)}}{11}

        Por lo tanto, el resultado es: −252cot⁡11(x)11- \frac{252 \cot^{11}{\left(x \right)}}{11}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫210cot⁡8(x)csc⁡2(x) dx=210∫cot⁡8(x)csc⁡2(x) dx\int 210 \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 210 \int \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u8) du\int \left(- u^{8}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u8 du=−∫u8 du\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

            Por lo tanto, el resultado es: −u99- \frac{u^{9}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡9(x)9- \frac{\cot^{9}{\left(x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −70cot⁡9(x)3- \frac{70 \cot^{9}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫120cot⁡6(x)csc⁡2(x) dx=120∫cot⁡6(x)csc⁡2(x) dx\int 120 \cot^{6}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \cot^{6}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u6) du\int \left(- u^{6}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u6 du=−∫u6 du\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

            Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡7(x)7- \frac{\cot^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −120cot⁡7(x)7- \frac{120 \cot^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫45cot⁡4(x)csc⁡2(x) dx=45∫cot⁡4(x)csc⁡2(x) dx\int 45 \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 45 \int \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡5(x)5- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −9cot⁡5(x)- 9 \cot^{5}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫10cot⁡2(x)csc⁡2(x) dx=10∫cot⁡2(x)csc⁡2(x) dx\int 10 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡3(x)3- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −10cot⁡3(x)3- \frac{10 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. ∫csc⁡2(x) dx=−cot⁡(x)\int \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = - \cot{\left(x \right)}

      El resultado es: −cot⁡21(x)21−10cot⁡19(x)19−45cot⁡17(x)17−8cot⁡15(x)−210cot⁡13(x)13−252cot⁡11(x)11−70cot⁡9(x)3−120cot⁡7(x)7−9cot⁡5(x)−10cot⁡3(x)3−cot⁡(x)- \frac{\cot^{21}{\left(x \right)}}{21} - \frac{10 \cot^{19}{\left(x \right)}}{19} - \frac{45 \cot^{17}{\left(x \right)}}{17} - 8 \cot^{15}{\left(x \right)} - \frac{210 \cot^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{252 \cot^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{70 \cot^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{120 \cot^{7}{\left(x \right)}}{7} - 9 \cot^{5}{\left(x \right)} - \frac{10 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cot⁡2(x)+1)10csc⁡2(x)=cot⁡20(x)csc⁡2(x)+10cot⁡18(x)csc⁡2(x)+45cot⁡16(x)csc⁡2(x)+120cot⁡14(x)csc⁡2(x)+210cot⁡12(x)csc⁡2(x)+252cot⁡10(x)csc⁡2(x)+210cot⁡8(x)csc⁡2(x)+120cot⁡6(x)csc⁡2(x)+45cot⁡4(x)csc⁡2(x)+10cot⁡2(x)csc⁡2(x)+csc⁡2(x)\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{10} \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{20}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 10 \cot^{18}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 45 \cot^{16}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 120 \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 210 \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 252 \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 210 \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 120 \cot^{6}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 45 \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 10 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \csc^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

        Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u20) du\int \left(- u^{20}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u20 du=−∫u20 du\int u^{20}\, du = - \int u^{20}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u20 du=u2121\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}

          Por lo tanto, el resultado es: −u2121- \frac{u^{21}}{21}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cot⁡21(x)21- \frac{\cot^{21}{\left(x \right)}}{21}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫10cot⁡18(x)csc⁡2(x) dx=10∫cot⁡18(x)csc⁡2(x) dx\int 10 \cot^{18}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \cot^{18}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u18) du\int \left(- u^{18}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u18 du=−∫u18 du\int u^{18}\, du = - \int u^{18}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u18 du=u1919\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1919- \frac{u^{19}}{19}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡19(x)19- \frac{\cot^{19}{\left(x \right)}}{19}

        Por lo tanto, el resultado es: −10cot⁡19(x)19- \frac{10 \cot^{19}{\left(x \right)}}{19}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫45cot⁡16(x)csc⁡2(x) dx=45∫cot⁡16(x)csc⁡2(x) dx\int 45 \cot^{16}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 45 \int \cot^{16}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u16) du\int \left(- u^{16}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u16 du=−∫u16 du\int u^{16}\, du = - \int u^{16}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u16 du=u1717\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1717- \frac{u^{17}}{17}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡17(x)17- \frac{\cot^{17}{\left(x \right)}}{17}

        Por lo tanto, el resultado es: −45cot⁡17(x)17- \frac{45 \cot^{17}{\left(x \right)}}{17}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫120cot⁡14(x)csc⁡2(x) dx=120∫cot⁡14(x)csc⁡2(x) dx\int 120 \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \cot^{14}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u14) du\int \left(- u^{14}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u14 du=−∫u14 du\int u^{14}\, du = - \int u^{14}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u14 du=u1515\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1515- \frac{u^{15}}{15}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡15(x)15- \frac{\cot^{15}{\left(x \right)}}{15}

        Por lo tanto, el resultado es: −8cot⁡15(x)- 8 \cot^{15}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫210cot⁡12(x)csc⁡2(x) dx=210∫cot⁡12(x)csc⁡2(x) dx\int 210 \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 210 \int \cot^{12}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u12) du\int \left(- u^{12}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u12 du=−∫u12 du\int u^{12}\, du = - \int u^{12}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u12 du=u1313\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1313- \frac{u^{13}}{13}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡13(x)13- \frac{\cot^{13}{\left(x \right)}}{13}

        Por lo tanto, el resultado es: −210cot⁡13(x)13- \frac{210 \cot^{13}{\left(x \right)}}{13}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫252cot⁡10(x)csc⁡2(x) dx=252∫cot⁡10(x)csc⁡2(x) dx\int 252 \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 252 \int \cot^{10}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u10) du\int \left(- u^{10}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u10 du=−∫u10 du\int u^{10}\, du = - \int u^{10}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

            Por lo tanto, el resultado es: −u1111- \frac{u^{11}}{11}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡11(x)11- \frac{\cot^{11}{\left(x \right)}}{11}

        Por lo tanto, el resultado es: −252cot⁡11(x)11- \frac{252 \cot^{11}{\left(x \right)}}{11}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫210cot⁡8(x)csc⁡2(x) dx=210∫cot⁡8(x)csc⁡2(x) dx\int 210 \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 210 \int \cot^{8}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u8) du\int \left(- u^{8}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u8 du=−∫u8 du\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

            Por lo tanto, el resultado es: −u99- \frac{u^{9}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡9(x)9- \frac{\cot^{9}{\left(x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −70cot⁡9(x)3- \frac{70 \cot^{9}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫120cot⁡6(x)csc⁡2(x) dx=120∫cot⁡6(x)csc⁡2(x) dx\int 120 \cot^{6}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \cot^{6}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u6) du\int \left(- u^{6}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u6 du=−∫u6 du\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

            Por lo tanto, el resultado es: −u77- \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡7(x)7- \frac{\cot^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −120cot⁡7(x)7- \frac{120 \cot^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫45cot⁡4(x)csc⁡2(x) dx=45∫cot⁡4(x)csc⁡2(x) dx\int 45 \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 45 \int \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡5(x)5- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −9cot⁡5(x)- 9 \cot^{5}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫10cot⁡2(x)csc⁡2(x) dx=10∫cot⁡2(x)csc⁡2(x) dx\int 10 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡3(x)3- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −10cot⁡3(x)3- \frac{10 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. ∫csc⁡2(x) dx=−cot⁡(x)\int \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = - \cot{\left(x \right)}

      El resultado es: −cot⁡21(x)21−10cot⁡19(x)19−45cot⁡17(x)17−8cot⁡15(x)−210cot⁡13(x)13−252cot⁡11(x)11−70cot⁡9(x)3−120cot⁡7(x)7−9cot⁡5(x)−10cot⁡3(x)3−cot⁡(x)- \frac{\cot^{21}{\left(x \right)}}{21} - \frac{10 \cot^{19}{\left(x \right)}}{19} - \frac{45 \cot^{17}{\left(x \right)}}{17} - 8 \cot^{15}{\left(x \right)} - \frac{210 \cot^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{252 \cot^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{70 \cot^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{120 \cot^{7}{\left(x \right)}}{7} - 9 \cot^{5}{\left(x \right)} - \frac{10 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}

  3. Ahora simplificar:

    −(969969+3233230tan⁡2(x)+8729721tan⁡4(x)+16628040tan⁡6(x)+22632610tan⁡8(x)+22221108tan⁡10(x)+15668730tan⁡12(x)+7759752tan⁡14(x)+2567565tan⁡16(x)+510510tan⁡18(x)+46189tan⁡20(x))cot⁡(x)969969- \frac{\left(969969 + \frac{3233230}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{8729721}{\tan^{4}{\left(x \right)}} + \frac{16628040}{\tan^{6}{\left(x \right)}} + \frac{22632610}{\tan^{8}{\left(x \right)}} + \frac{22221108}{\tan^{10}{\left(x \right)}} + \frac{15668730}{\tan^{12}{\left(x \right)}} + \frac{7759752}{\tan^{14}{\left(x \right)}} + \frac{2567565}{\tan^{16}{\left(x \right)}} + \frac{510510}{\tan^{18}{\left(x \right)}} + \frac{46189}{\tan^{20}{\left(x \right)}}\right) \cot{\left(x \right)}}{969969}

  4. Añadimos la constante de integración:

    −(969969+3233230tan⁡2(x)+8729721tan⁡4(x)+16628040tan⁡6(x)+22632610tan⁡8(x)+22221108tan⁡10(x)+15668730tan⁡12(x)+7759752tan⁡14(x)+2567565tan⁡16(x)+510510tan⁡18(x)+46189tan⁡20(x))cot⁡(x)969969+constant- \frac{\left(969969 + \frac{3233230}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{8729721}{\tan^{4}{\left(x \right)}} + \frac{16628040}{\tan^{6}{\left(x \right)}} + \frac{22632610}{\tan^{8}{\left(x \right)}} + \frac{22221108}{\tan^{10}{\left(x \right)}} + \frac{15668730}{\tan^{12}{\left(x \right)}} + \frac{7759752}{\tan^{14}{\left(x \right)}} + \frac{2567565}{\tan^{16}{\left(x \right)}} + \frac{510510}{\tan^{18}{\left(x \right)}} + \frac{46189}{\tan^{20}{\left(x \right)}}\right) \cot{\left(x \right)}}{969969}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(969969+3233230tan⁡2(x)+8729721tan⁡4(x)+16628040tan⁡6(x)+22632610tan⁡8(x)+22221108tan⁡10(x)+15668730tan⁡12(x)+7759752tan⁡14(x)+2567565tan⁡16(x)+510510tan⁡18(x)+46189tan⁡20(x))cot⁡(x)969969+constant- \frac{\left(969969 + \frac{3233230}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{8729721}{\tan^{4}{\left(x \right)}} + \frac{16628040}{\tan^{6}{\left(x \right)}} + \frac{22632610}{\tan^{8}{\left(x \right)}} + \frac{22221108}{\tan^{10}{\left(x \right)}} + \frac{15668730}{\tan^{12}{\left(x \right)}} + \frac{7759752}{\tan^{14}{\left(x \right)}} + \frac{2567565}{\tan^{16}{\left(x \right)}} + \frac{510510}{\tan^{18}{\left(x \right)}} + \frac{46189}{\tan^{20}{\left(x \right)}}\right) \cot{\left(x \right)}}{969969}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                                              
 |                                                            11             13             7            9            17            3            19         21   
 |    1                            5           15      252*cot  (x)   210*cot  (x)   120*cot (x)   70*cot (x)   45*cot  (x)   10*cot (x)   10*cot  (x)   cot  (x)
 | -------- dx = C - cot(x) - 9*cot (x) - 8*cot  (x) - ------------ - ------------ - ----------- - ---------- - ----------- - ---------- - ----------- - --------
 |    22                                                    11             13             7            3             17           3             19          21   
 | sin  (x)                                                                                                                                                      
 |                                                                                                                                                               
/
∫1sin⁡22(x) dx=C−cot⁡21(x)21−10cot⁡19(x)19−45cot⁡17(x)17−8cot⁡15(x)−210cot⁡13(x)13−252cot⁡11(x)11−70cot⁡9(x)3−120cot⁡7(x)7−9cot⁡5(x)−10cot⁡3(x)3−cot⁡(x)\int \frac{1}{\sin^{22}{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\cot^{21}{\left(x \right)}}{21} - \frac{10 \cot^{19}{\left(x \right)}}{19} - \frac{45 \cot^{17}{\left(x \right)}}{17} - 8 \cot^{15}{\left(x \right)} - \frac{210 \cot^{13}{\left(x \right)}}{13} - \frac{252 \cot^{11}{\left(x \right)}}{11} - \frac{70 \cot^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{120 \cot^{7}{\left(x \right)}}{7} - 9 \cot^{5}{\left(x \right)} - \frac{10 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.400.450.500.550.600.650.700.752000000000-1000000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                   ___________            ___________            ___________            ___________            ___________             ___________              ___________              ___________              ___________               ___________               ___________
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                 /  1   \/ 2            /  1   \/ 2            /  1   \/ 2            /  1   \/ 2            /  1   \/ 2             /  1   \/ 2              /  1   \/ 2              /  1   \/ 2              /  1   \/ 2               /  1   \/ 2               /  1   \/ 2  
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                  /       ___            /       ___            /       ___            /       ___            /       ___             /       ___              /       ___              /       ___              /       ___               /       ___               /       ___ 
                 /  1   \/ 2            /  1   \/ 2            /  1   \/ 2            /  1   \/ 2            /  1   \/ 2             /  1   \/ 2              /  1   \/ 2              /  1   \/ 2              /  1   \/ 2               /  1   \/ 2               /  1   \/ 2  
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   323323                  21/2                  19/2                   17/2                   15/2                   13/2                    11/2                     9/2                      5/2                      7/2                       3/2                ___________
                /      ___\           /      ___\            /      ___\            /      ___\            /      ___\             /      ___\              /      ___\              /      ___\              /      ___\               /      ___\                  /       ___ 
                |1   \/ 2 |           |1   \/ 2 |            |1   \/ 2 |            |1   \/ 2 |            |1   \/ 2 |             |1   \/ 2 |              |1   \/ 2 |              |1   \/ 2 |              |1   \/ 2 |               |1   \/ 2 |                 /  1   \/ 2  
             21*|- - -----|       399*|- - -----|       2261*|- - -----|       2261*|- - -----|       4199*|- - -----|       46189*|- - -----|       138567*|- - -----|       323323*|- - -----|       969969*|- - -----|        969969*|- - -----|       969969*  /   - - ----- 
                \2     4  /           \2     4  /            \2     4  /            \2     4  /            \2     4  /             \2     4  /              \2     4  /              \2     4  /              \2     4  /               \2     4  /              \/    2     4
−33655808323323+26214424+1296996912−24+13107224+12969969(12−24)32+3276824+12323323(12−24)52+8192024+12969969(12−24)72+1024024+12138567(12−24)92+307224+1246189(12−24)112+25624+124199(12−24)132+12824+122261(12−24)152+12024+122261(12−24)172+2024+12399(12−24)192+24+1221(12−24)212- \frac{33655808}{323323} + \frac{262144 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{969969 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}} + \frac{131072 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{969969 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{32768 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{323323 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{81920 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{969969 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{\frac{7}{2}}} + \frac{10240 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{138567 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{\frac{9}{2}}} + \frac{3072 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{46189 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{\frac{11}{2}}} + \frac{256 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{4199 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{\frac{13}{2}}} + \frac{128 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2261 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{\frac{15}{2}}} + \frac{120 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{2261 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{\frac{17}{2}}} + \frac{20 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{399 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{\frac{19}{2}}} + \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}}{21 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{\frac{21}{2}}} 
-33655808/323323 + sqrt(1/2 + sqrt(2)/4)/(21*(1/2 - sqrt(2)/4)^(21/2)) + 20*sqrt(1/2 + sqrt(2)/4)/(399*(1/2 - sqrt(2)/4)^(19/2)) + 120*sqrt(1/2 + sqrt(2)/4)/(2261*(1/2 - sqrt(2)/4)^(17/2)) + 128*sqrt(1/2 + sqrt(2)/4)/(2261*(1/2 - sqrt(2)/4)^(15/2)) + 256*sqrt(1/2 + sqrt(2)/4)/(4199*(1/2 - sqrt(2)/4)^(13/2)) + 3072*sqrt(1/2 + sqrt(2)/4)/(46189*(1/2 - sqrt(2)/4)^(11/2)) + 10240*sqrt(1/2 + sqrt(2)/4)/(138567*(1/2 - sqrt(2)/4)^(9/2)) + 32768*sqrt(1/2 + sqrt(2)/4)/(323323*(1/2 - sqrt(2)/4)^(5/2)) + 81920*sqrt(1/2 + sqrt(2)/4)/(969969*(1/2 - sqrt(2)/4)^(7/2)) + 131072*sqrt(1/2 + sqrt(2)/4)/(969969*(1/2 - sqrt(2)/4)^(3/2)) + 262144*sqrt(1/2 + sqrt(2)/4)/(969969*sqrt(1/2 - sqrt(2)/4))
Respuesta numérica [src] 
29961272.1382315
29961272.1382315

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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