Integral de x/(cbrt(3x+1)) dx

1. que $u = \sqrt[3]{3 x + 1}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{\left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

   $\int u \left(\frac{u^{3}}{3} - \frac{1}{3}\right)\, du$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $u \left(\frac{u^{3}}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{u^{4}}{3} - \frac{u}{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{4}}{3}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{u}{3}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{6}$

      El resultado es: $\frac{u^{5}}{15} - \frac{u^{2}}{6}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{5}{3}}}{15} - \frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{6}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{10}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)^{\frac{2}{3}}}{10}+ \mathrm{constant}$