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Resolución de integrales/ (x-5)/ (x-5)/x^(a+2)

Integral de (x-5)/x^(a+2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  3          
  /          
 |           
 |  x - 5    
 |  ------ dx
 |   a + 2   
 |  x        
 |           
/            
0
∫03x−5xa+2 dx\int\limits_{0}^{3} \frac{x - 5}{x^{a + 2}}\, dx 
Integral((x - 5)/x^(a + 2), (x, 0, 3))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    x−5xa+2=x−ax−5x−ax2\frac{x - 5}{x^{a + 2}} = \frac{x^{- a}}{x} - \frac{5 x^{- a}}{x^{2}}

  2. Integramos término a término:

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      {−x−aafor a≠0log⁡(x)otherwese\begin{cases} - \frac{x^{- a}}{a} & \text{for}\: a \neq 0 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−5x−ax2) dx=−5∫x−ax2 dx\int \left(- \frac{5 x^{- a}}{x^{2}}\right)\, dx = - 5 \int \frac{x^{- a}}{x^{2}}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        {−1axxa+xxafor a≠−1log⁡(x)otherwese\begin{cases} - \frac{1}{a x x^{a} + x x^{a}} & \text{for}\: a \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}

      Por lo tanto, el resultado es: −5({−1axxa+xxafor a≠−1log⁡(x)otherwese)- 5 \left(\begin{cases} - \frac{1}{a x x^{a} + x x^{a}} & \text{for}\: a \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}\right)

    El resultado es: {−x−aafor a≠0log⁡(x)otherwese−5({−1axxa+xxafor a≠−1log⁡(x)otherwese)\begin{cases} - \frac{x^{- a}}{a} & \text{for}\: a \neq 0 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases} - 5 \left(\begin{cases} - \frac{1}{a x x^{a} + x x^{a}} & \text{for}\: a \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}\right)

  3. Ahora simplificar:

    {x−a(−a+5ax−1)a(a+1)for (a>−1∧a<0)∨a>0∨a<−15x−a−1+(a+1)log⁡(x)a+1for a≠−1−(5log⁡(x)+x−aa)for a≠0−4log⁡(x)otherwese\begin{cases} \frac{x^{- a} \left(- a + \frac{5 a}{x} - 1\right)}{a \left(a + 1\right)} & \text{for}\: \left(a > -1 \wedge a < 0\right) \vee a > 0 \vee a < -1 \\\frac{5 x^{- a - 1} + \left(a + 1\right) \log{\left(x \right)}}{a + 1} & \text{for}\: a \neq -1 \\- (5 \log{\left(x \right)} + \frac{x^{- a}}{a}) & \text{for}\: a \neq 0 \\- 4 \log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}

  4. Añadimos la constante de integración:

    {x−a(−a+5ax−1)a(a+1)for (a>−1∧a<0)∨a>0∨a<−15x−a−1+(a+1)log⁡(x)a+1for a≠−1−(5log⁡(x)+x−aa)for a≠0−4log⁡(x)otherwese+constant\begin{cases} \frac{x^{- a} \left(- a + \frac{5 a}{x} - 1\right)}{a \left(a + 1\right)} & \text{for}\: \left(a > -1 \wedge a < 0\right) \vee a > 0 \vee a < -1 \\\frac{5 x^{- a - 1} + \left(a + 1\right) \log{\left(x \right)}}{a + 1} & \text{for}\: a \neq -1 \\- (5 \log{\left(x \right)} + \frac{x^{- a}}{a}) & \text{for}\: a \neq 0 \\- 4 \log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{x−a(−a+5ax−1)a(a+1)for (a>−1∧a<0)∨a>0∨a<−15x−a−1+(a+1)log⁡(x)a+1for a≠−1−(5log⁡(x)+x−aa)for a≠0−4log⁡(x)otherwese+constant\begin{cases} \frac{x^{- a} \left(- a + \frac{5 a}{x} - 1\right)}{a \left(a + 1\right)} & \text{for}\: \left(a > -1 \wedge a < 0\right) \vee a > 0 \vee a < -1 \\\frac{5 x^{- a - 1} + \left(a + 1\right) \log{\left(x \right)}}{a + 1} & \text{for}\: a \neq -1 \\- (5 \log{\left(x \right)} + \frac{x^{- a}}{a}) & \text{for}\: a \neq 0 \\- 4 \log{\left(x \right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                  //     -1                   \   //  -a              \
 |                   ||-------------  for a != -1|   ||-x                |
 | x - 5             ||   a        a             |   ||-----   for a != 0|
 | ------ dx = C - 5*|
∫x−5xa+2 dx=C+{−x−aafor a≠0log⁡(x)otherwise−5({−1axxa+xxafor a≠−1log⁡(x)otherwise)\int \frac{x - 5}{x^{a + 2}}\, dx = C + \begin{cases} - \frac{x^{- a}}{a} & \text{for}\: a \neq 0 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases} - 5 \left(\begin{cases} - \frac{1}{a x x^{a} + x x^{a}} & \text{for}\: a \neq -1 \\\log{\left(x \right)} & \text{otherwise} \end{cases}\right)
Simplificar
Respuesta [src] 
  3                    
  /                    
 |                     
 |   -2 - a            
 |  x      *(-5 + x) dx
 |                     
/                      
0
∫03x−a−2(x−5) dx\int\limits_{0}^{3} x^{- a - 2} \left(x - 5\right)\, dx 
=
= 
  3                    
  /                    
 |                     
 |   -2 - a            
 |  x      *(-5 + x) dx
 |                     
/                      
0
∫03x−a−2(x−5) dx\int\limits_{0}^{3} x^{- a - 2} \left(x - 5\right)\, dx 
Integral(x^(-2 - a)*(-5 + x), (x, 0, 3))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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