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Resolución de integrales/ (1+2x)/ x-x^2/ (6x-x^2)/(1+2x)

Integral de (6x-x^2)/(1+2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      −x2+6x2x+1=−x2+134−134(2x+1)\frac{- x^{2} + 6 x}{2 x + 1} = - \frac{x}{2} + \frac{13}{4} - \frac{13}{4 \left(2 x + 1\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2) dx=−∫x dx2\int \left(- \frac{x}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x24- \frac{x^{2}}{4}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫134 dx=13x4\int \frac{13}{4}\, dx = \frac{13 x}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−134(2x+1)) dx=−13∫12x+1 dx4\int \left(- \frac{13}{4 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{13 \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{4}

        1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −13log⁡(2x+1)8- \frac{13 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}

      El resultado es: −x24+13x4−13log⁡(2x+1)8- \frac{x^{2}}{4} + \frac{13 x}{4} - \frac{13 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      −x2+6x2x+1=−x2−6x2x+1\frac{- x^{2} + 6 x}{2 x + 1} = - \frac{x^{2} - 6 x}{2 x + 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x2−6x2x+1) dx=−∫x2−6x2x+1 dx\int \left(- \frac{x^{2} - 6 x}{2 x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2} - 6 x}{2 x + 1}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2−6x2x+1=x2−134+134(2x+1)\frac{x^{2} - 6 x}{2 x + 1} = \frac{x}{2} - \frac{13}{4} + \frac{13}{4 \left(2 x + 1\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫(−134) dx=−13x4\int \left(- \frac{13}{4}\right)\, dx = - \frac{13 x}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫134(2x+1) dx=13∫12x+1 dx4\int \frac{13}{4 \left(2 x + 1\right)}\, dx = \frac{13 \int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{4}

          1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 13log⁡(2x+1)8\frac{13 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}

        El resultado es: x24−13x4+13log⁡(2x+1)8\frac{x^{2}}{4} - \frac{13 x}{4} + \frac{13 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}

      Por lo tanto, el resultado es: −x24+13x4−13log⁡(2x+1)8- \frac{x^{2}}{4} + \frac{13 x}{4} - \frac{13 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      −x2+6x2x+1=−x22x+1+6x2x+1\frac{- x^{2} + 6 x}{2 x + 1} = - \frac{x^{2}}{2 x + 1} + \frac{6 x}{2 x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x22x+1) dx=−∫x22x+1 dx\int \left(- \frac{x^{2}}{2 x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{2 x + 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x22x+1=x2−14+14(2x+1)\frac{x^{2}}{2 x + 1} = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \left(2 x + 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

            1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫(−14) dx=−x4\int \left(- \frac{1}{4}\right)\, dx = - \frac{x}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫14(2x+1) dx=∫12x+1 dx4\int \frac{1}{4 \left(2 x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{4}

            1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2x+1)8\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}

          El resultado es: x24−x4+log⁡(2x+1)8\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: −x24+x4−log⁡(2x+1)8- \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6x2x+1 dx=6∫x2x+1 dx\int \frac{6 x}{2 x + 1}\, dx = 6 \int \frac{x}{2 x + 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x2x+1=12−12(2x+1)\frac{x}{2 x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−12(2x+1)) dx=−∫12x+1 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{2}

            1. que u=2x+1u = 2 x + 1.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2x+1)2\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2x+1)4- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}

          El resultado es: x2−log⁡(2x+1)4\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x−3log⁡(2x+1)23 x - \frac{3 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}

      El resultado es: −x24+13x4−13log⁡(2x+1)8- \frac{x^{2}}{4} + \frac{13 x}{4} - \frac{13 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −x24+13x4−13log⁡(2x+1)8+constant- \frac{x^{2}}{4} + \frac{13 x}{4} - \frac{13 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x24+13x4−13log⁡(2x+1)8+constant- \frac{x^{2}}{4} + \frac{13 x}{4} - \frac{13 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                                              
 |        2                             2       
 | 6*x - x           13*log(1 + 2*x)   x    13*x
 | -------- dx = C - --------------- - -- + ----
 | 1 + 2*x                  8          4     4  
 |                                              
/
∫−x2+6x2x+1 dx=C−x24+13x4−13log⁡(2x+1)8\int \frac{- x^{2} + 6 x}{2 x + 1}\, dx = C - \frac{x^{2}}{4} + \frac{13 x}{4} - \frac{13 \log{\left(2 x + 1 \right)}}{8}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
    13*log(3)
3 - ---------
        8
3−13log⁡(3)83 - \frac{13 \log{\left(3 \right)}}{8} 
=
= 
    13*log(3)
3 - ---------
        8
3−13log⁡(3)83 - \frac{13 \log{\left(3 \right)}}{8} 
3 - 13*log(3)/8
Respuesta numérica [src] 
1.21475503091432
1.21475503091432

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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