Integral de sin^6(5y) dx

Solución

Ha introducido [src]

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 |  sin (5*y) dy
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0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{6}{\left(5 y \right)}\, dy$$

Integral(sin(5*y)^6, (y, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{6}{\left(5 y \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(10 y \right)}}{2}\right)^{3}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(10 y \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(10 y \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(10 y \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(10 y \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(10 y \right)}}{8}\right)\, dy = - \frac{\int \cos^{3}{\left(10 y \right)}\, dy}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(10 y \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(10 y \right)}\right) \cos{\left(10 y \right)}$
    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
      
      Método #1
      
      que $u = \sin{\left(10 y \right)}$ .
      
      Luego que $du = 10 \cos{\left(10 y \right)} dy$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{10} - \frac{u^{2}}{10}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{10}\, du = \frac{u}{10}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{10}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{10}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{30}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{30} + \frac{u}{10}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(10 y \right)}}{30} + \frac{\sin{\left(10 y \right)}}{10}$
      
      Método #2
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(10 y \right)}\right) \cos{\left(10 y \right)} = - \sin^{2}{\left(10 y \right)} \cos{\left(10 y \right)} + \cos{\left(10 y \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(10 y \right)} \cos{\left(10 y \right)}\right)\, dy = - \int \sin^{2}{\left(10 y \right)} \cos{\left(10 y \right)}\, dy$
      
      que $u = \sin{\left(10 y \right)}$ .
      
      Luego que $du = 10 \cos{\left(10 y \right)} dy$ y ponemos $\frac{du}{10}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{10}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{10}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{30}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(10 y \right)}}{30}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(10 y \right)}}{30}$
      
      que $u = 10 y$ .
      
      Luego que $du = 10 dy$ y ponemos $\frac{du}{10}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{10}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{10}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{10}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(10 y \right)}}{10}$
      
      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(10 y \right)}}{30} + \frac{\sin{\left(10 y \right)}}{10}$
      
      Método #3
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(10 y \right)}\right) \cos{\left(10 y \right)} = - \sin^{2}{\left(10 y \right)} \cos{\left(10 y \right)} + \cos{\left(10 y \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(10 y \right)} \cos{\left(10 y \right)}\right)\, dy = - \int \sin^{2}{\left(10 y \right)} \cos{\left(10 y \right)}\, dy$
      
      que $u = \sin{\left(10 y \right)}$ .
      
      Luego que $du = 10 \cos{\left(10 y \right)} dy$ y ponemos $\frac{du}{10}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{10}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{10}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{30}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(10 y \right)}}{30}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(10 y \right)}}{30}$
      
      que $u = 10 y$ .
      
      Luego que $du = 10 dy$ y ponemos $\frac{du}{10}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{10}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{10}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{10}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(10 y \right)}}{10}$
      
      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(10 y \right)}}{30} + \frac{\sin{\left(10 y \right)}}{10}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(10 y \right)}}{240} - \frac{\sin{\left(10 y \right)}}{80}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(10 y \right)}}{8}\, dy = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(10 y \right)}\, dy}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(10 y \right)} = \frac{\cos{\left(20 y \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(20 y \right)}}{2}\, dy = \frac{\int \cos{\left(20 y \right)}\, dy}{2}$
      
      que $u = 20 y$ .
      
      Luego que $du = 20 dy$ y ponemos $\frac{du}{20}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{20}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{20}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{20}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(20 y \right)}}{20}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(20 y \right)}}{40}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dy = \frac{y}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{y}{2} + \frac{\sin{\left(20 y \right)}}{40}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 y}{16} + \frac{3 \sin{\left(20 y \right)}}{320}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(10 y \right)}}{8}\right)\, dy = - \frac{3 \int \cos{\left(10 y \right)}\, dy}{8}$
    1. que $u = 10 y$ .
      
      Luego que $du = 10 dy$ y ponemos $\frac{du}{10}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{10}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{10}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{10}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(10 y \right)}}{10}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sin{\left(10 y \right)}}{80}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dy = \frac{y}{8}$
  El resultado es: $\frac{5 y}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(10 y \right)}}{240} - \frac{\sin{\left(10 y \right)}}{20} + \frac{3 \sin{\left(20 y \right)}}{320}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(10 y \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(10 y \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(10 y \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(10 y \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(10 y \right)}}{8}\right)\, dy = - \frac{\int \cos^{3}{\left(10 y \right)}\, dy}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(10 y \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(10 y \right)}\right) \cos{\left(10 y \right)}$
    2. que $u = \sin{\left(10 y \right)}$ .
      
      Luego que $du = 10 \cos{\left(10 y \right)} dy$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{10} - \frac{u^{2}}{10}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{10}\, du = \frac{u}{10}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{10}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{10}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{30}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{30} + \frac{u}{10}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(10 y \right)}}{30} + \frac{\sin{\left(10 y \right)}}{10}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(10 y \right)}}{240} - \frac{\sin{\left(10 y \right)}}{80}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(10 y \right)}}{8}\, dy = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(10 y \right)}\, dy}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(10 y \right)} = \frac{\cos{\left(20 y \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(20 y \right)}}{2}\, dy = \frac{\int \cos{\left(20 y \right)}\, dy}{2}$
      
      que $u = 20 y$ .
      
      Luego que $du = 20 dy$ y ponemos $\frac{du}{20}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{20}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{20}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{20}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(20 y \right)}}{20}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(20 y \right)}}{40}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dy = \frac{y}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{y}{2} + \frac{\sin{\left(20 y \right)}}{40}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 y}{16} + \frac{3 \sin{\left(20 y \right)}}{320}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(10 y \right)}}{8}\right)\, dy = - \frac{3 \int \cos{\left(10 y \right)}\, dy}{8}$
    1. que $u = 10 y$ .
      
      Luego que $du = 10 dy$ y ponemos $\frac{du}{10}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{10}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{10}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{10}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(10 y \right)}}{10}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sin{\left(10 y \right)}}{80}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dy = \frac{y}{8}$
  El resultado es: $\frac{5 y}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(10 y \right)}}{240} - \frac{\sin{\left(10 y \right)}}{20} + \frac{3 \sin{\left(20 y \right)}}{320}$
Ahora simplificar:

$\frac{5 y}{16} - \frac{3 \sin{\left(10 y \right)}}{64} + \frac{3 \sin{\left(20 y \right)}}{320} - \frac{\sin{\left(30 y \right)}}{960}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{5 y}{16} - \frac{3 \sin{\left(10 y \right)}}{64} + \frac{3 \sin{\left(20 y \right)}}{320} - \frac{\sin{\left(30 y \right)}}{960}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 y}{16} - \frac{3 \sin{\left(10 y \right)}}{64} + \frac{3 \sin{\left(20 y \right)}}{320} - \frac{\sin{\left(30 y \right)}}{960}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                             
 |                                   3                          
 |    6               sin(10*y)   sin (10*y)   3*sin(20*y)   5*y
 | sin (5*y) dy = C - --------- + ---------- + ----------- + ---
 |                        20         240           320        16
/

$$\int \sin^{6}{\left(5 y \right)}\, dy = C + \frac{5 y}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(10 y \right)}}{240} - \frac{\sin{\left(10 y \right)}}{20} + \frac{3 \sin{\left(20 y \right)}}{320}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                        3                5          
5    cos(5)*sin(5)   sin (5)*cos(5)   sin (5)*cos(5)
-- - ------------- - -------------- - --------------
16         16              24               30

$$- \frac{\sin^{5}{\left(5 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{30} - \frac{\sin^{3}{\left(5 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(5 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{16} + \frac{5}{16}$$

                        3                5          
5    cos(5)*sin(5)   sin (5)*cos(5)   sin (5)*cos(5)
-- - ------------- - -------------- - --------------
16         16              24               30

$$- \frac{\sin^{5}{\left(5 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{30} - \frac{\sin^{3}{\left(5 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(5 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{16} + \frac{5}{16}$$

5/16 - cos(5)*sin(5)/16 - sin(5)^3*cos(5)/24 - sin(5)^5*cos(5)/30

Respuesta numérica [src]

0.347589050906941

0.347589050906941

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de sin^6(5y) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #1

Método #2

Método #3

Método #2