Integral de (8x-12)(4x^2-12x)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 x^{2} - 12 x$.

      Luego que $du = \left(8 x - 12\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{4}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(4 x^{2} - 12 x\right)^{5}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(8 x - 12\right) \left(4 x^{2} - 12 x\right)^{4} = 2048 x^{9} - 27648 x^{8} + 147456 x^{7} - 387072 x^{6} + 497664 x^{5} - 248832 x^{4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2048 x^{9}\, dx = 2048 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1024 x^{10}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 27648 x^{8}\right)\, dx = - 27648 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3072 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 147456 x^{7}\, dx = 147456 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $18432 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 387072 x^{6}\right)\, dx = - 387072 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 55296 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 497664 x^{5}\, dx = 497664 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $82944 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 248832 x^{4}\right)\, dx = - 248832 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{248832 x^{5}}{5}$

      El resultado es: $\frac{1024 x^{10}}{5} - 3072 x^{9} + 18432 x^{8} - 55296 x^{7} + 82944 x^{6} - \frac{248832 x^{5}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{1024 x^{5} \left(x - 3\right)^{5}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{1024 x^{5} \left(x - 3\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{1024 x^{5} \left(x - 3\right)^{5}}{5}+ \mathrm{constant}$