Integral de x^(2)*(x^(3)+7)^(15) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3} + 7$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{15}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{15}\, du = \frac{\int u^{15}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{15}\, du = \frac{u^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{16}}{48}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{3} + 7\right)^{16}}{48}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(x^{3} + 7\right)^{15} = x^{47} + 105 x^{44} + 5145 x^{41} + 156065 x^{38} + 3277365 x^{35} + 50471421 x^{32} + 588833245 x^{29} + 5299499205 x^{26} + 37096494435 x^{23} + 201969803035 x^{20} + 848273172747 x^{17} + 2699051004195 x^{14} + 6297785676455 x^{11} + 10173346092735 x^{8} + 10173346092735 x^{5} + 4747561509943 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{47}\, dx = \frac{x^{48}}{48}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 105 x^{44}\, dx = 105 \int x^{44}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{44}\, dx = \frac{x^{45}}{45}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 x^{45}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5145 x^{41}\, dx = 5145 \int x^{41}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{41}\, dx = \frac{x^{42}}{42}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{245 x^{42}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 156065 x^{38}\, dx = 156065 \int x^{38}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{38}\, dx = \frac{x^{39}}{39}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12005 x^{39}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3277365 x^{35}\, dx = 3277365 \int x^{35}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{35}\, dx = \frac{x^{36}}{36}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1092455 x^{36}}{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 50471421 x^{32}\, dx = 50471421 \int x^{32}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{32}\, dx = \frac{x^{33}}{33}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1529437 x^{33}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 588833245 x^{29}\, dx = 588833245 \int x^{29}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{29}\, dx = \frac{x^{30}}{30}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{117766649 x^{30}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5299499205 x^{26}\, dx = 5299499205 \int x^{26}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{26}\, dx = \frac{x^{27}}{27}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{588833245 x^{27}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 37096494435 x^{23}\, dx = 37096494435 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12365498145 x^{24}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 201969803035 x^{20}\, dx = 201969803035 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{28852829005 x^{21}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 848273172747 x^{17}\, dx = 848273172747 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{282757724249 x^{18}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2699051004195 x^{14}\, dx = 2699051004195 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $179936733613 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6297785676455 x^{11}\, dx = 6297785676455 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6297785676455 x^{12}}{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10173346092735 x^{8}\, dx = 10173346092735 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3391115364245 x^{9}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10173346092735 x^{5}\, dx = 10173346092735 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3391115364245 x^{6}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4747561509943 x^{2}\, dx = 4747561509943 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4747561509943 x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{48}}{48} + \frac{7 x^{45}}{3} + \frac{245 x^{42}}{2} + \frac{12005 x^{39}}{3} + \frac{1092455 x^{36}}{12} + 1529437 x^{33} + \frac{117766649 x^{30}}{6} + \frac{588833245 x^{27}}{3} + \frac{12365498145 x^{24}}{8} + \frac{28852829005 x^{21}}{3} + \frac{282757724249 x^{18}}{6} + 179936733613 x^{15} + \frac{6297785676455 x^{12}}{12} + \frac{3391115364245 x^{9}}{3} + \frac{3391115364245 x^{6}}{2} + \frac{4747561509943 x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{3} + 7\right)^{16}}{48}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{3} + 7\right)^{16}}{48}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{3} + 7\right)^{16}}{48}+ \mathrm{constant}$