Integral de 2x^2-3x+1/(x+1)*(x-1) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x - 1}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2}{x + 1}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

            1. que $u = x + 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(x + 1 \right)}$

         El resultado es: $x - 2 \log{\left(x + 1 \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

               1. que $u = x + 1$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x + 1 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x + 1 \right)}$

            El resultado es: $x - \log{\left(x + 1 \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

            1. que $u = x + 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x + 1 \right)}$

         El resultado es: $x - \log{\left(x + 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{2}\, dx = 2 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 x\right)\, dx = - 3 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2}$

   El resultado es: $\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + x - 2 \log{\left(x + 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + x - 2 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + x - 2 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$