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Resolución de integrales/ sin2t/ sin2t*2+t-1

Integral de sin2t*2+t-1 dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                        
  /                        
 |                         
 |  (sin(2*t)*2 + t - 1) dt
 |                         
/                          
0
∫01((t+2sin⁡(2t))−1) dt\int\limits_{0}^{1} \left(\left(t + 2 \sin{\left(2 t \right)}\right) - 1\right)\, dt 
Integral(sin(2*t)*2 + t - 1, (t, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. Integral tnt^{n} es tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫t dt=t22\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(2t) dt=2∫sin⁡(2t) dt\int 2 \sin{\left(2 t \right)}\, dt = 2 \int \sin{\left(2 t \right)}\, dt

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=2tu = 2 t.

            Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2t)2- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}

          Método #2

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2sin⁡(t)cos⁡(t) dt=2∫sin⁡(t)cos⁡(t) dt\int 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt = 2 \int \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

              Método #1

              1. que u=cos⁡(t)u = \cos{\left(t \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(t)dtdu = - \sin{\left(t \right)} dt y ponemos −du- du:

                ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡2(t)2- \frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{2}

              Método #2

              1. que u=sin⁡(t)u = \sin{\left(t \right)}.

                Luego que du=cos⁡(t)dtdu = \cos{\left(t \right)} dt y ponemos dudu:

                ∫u du\int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡2(t)2\frac{\sin^{2}{\left(t \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(t)- \cos^{2}{\left(t \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2t)- \cos{\left(2 t \right)}

      El resultado es: t22−cos⁡(2t)\frac{t^{2}}{2} - \cos{\left(2 t \right)}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫(−1) dt=−t\int \left(-1\right)\, dt = - t

    El resultado es: t22−t−cos⁡(2t)\frac{t^{2}}{2} - t - \cos{\left(2 t \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    t22−t−cos⁡(2t)+constant\frac{t^{2}}{2} - t - \cos{\left(2 t \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

t22−t−cos⁡(2t)+constant\frac{t^{2}}{2} - t - \cos{\left(2 t \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                               2               
 |                               t                
 | (sin(2*t)*2 + t - 1) dt = C + -- - t - cos(2*t)
 |                               2                
/
∫((t+2sin⁡(2t))−1) dt=C+t22−t−cos⁡(2t)\int \left(\left(t + 2 \sin{\left(2 t \right)}\right) - 1\right)\, dt = C + \frac{t^{2}}{2} - t - \cos{\left(2 t \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1/2 - cos(2)
12−cos⁡(2)\frac{1}{2} - \cos{\left(2 \right)} 
=
= 
1/2 - cos(2)
12−cos⁡(2)\frac{1}{2} - \cos{\left(2 \right)} 
1/2 - cos(2)
Respuesta numérica [src] 
0.916146836547142
0.916146836547142

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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