Integral de 1/(sin^4(x)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\csc^{4}{\left(x \right)} = \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \csc^{2}{\left(x \right)}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- u^{2} - 1\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, du = - u$

         El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} - u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \csc^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. $\int \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = - \cot{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \csc^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \cot{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. $\int \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = - \cot{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$